Разбор: какую силу держит спортивный бюстгальтер при беге — считаем по массе, амплитуде и частоте шага

Задача школьная: тело массой m колеблется по вертикали с амплитудой A и частотой f, найти силу, которая его удерживает. Необычно здесь только то, чем это тело является и чем оно удерживается — собственной тканью бегущего человека и изделием из трикотажа с косточками. Ниже я считаю пиковую силу по формуле гармонического колебания и сверяю результат с тем, что померили тензодатчиками в лаборатории. Короткий ответ: около 15 ньютонов на одну сторону при беге трусцой, расчёт и замер сходятся, а единственная величина в этой формуле, на которую влияет конструкция изделия, — амплитуда.

Взялась я за расчёт из-за формулировок в описаниях товара. Спортивный топ для бега продают словами, у которых нет размерности. «Максимальная фиксация», «уровень поддержки высокий», «удерживает на 70 %» — удерживает что, относительно чего и в каких единицах, не пишет никто.

Что именно движется

Грудь не имеет собственной мышечной фиксации: под ней лежит грудная мышца, но железистая и жировая ткань к ней не крепится и при движении туловища смещается с запаздыванием. Отсюда простая механическая постановка: есть подвижная масса, есть опора, между ними ткань изделия.

Как именно смещается эта масса, померили Скарр, Уайт и Хеджер (Journal of Sports Sciences, 2010, том 28, выпуск 10). Пятнадцать участниц с чашкой D бежали на дорожке на скорости около 10 км/ч в трёх условиях: без бюстгальтера, в обычном и в спортивном.

Главное для расчёта — раскладка движения относительно туловища. Половина смещения приходится на вертикаль, четверть на движение вперёд-назад, четверть на движение вбок. В фронтальной плоскости траектория замыкается сама на себя и выглядит восьмёркой, а не отрезком: точка уходит вверх по одной дуге, а возвращается по другой.

Дальше я считаю только вертикаль. Это законно ровно наполовину: горизонтальные составляющие никуда не деваются, но в них нет постоянной силы тяжести, и пиковые значения там меньше.

Исходные числа и откуда они взяты

Масса. Её измерили Мак-Ги, Стил, Зили и Такач в работе о силах между бюстгальтером и грудью (Applied Ergonomics, том 44, страницы 112-118). Там же есть и объём: средний объём одной стороны у участниц вышел 757-765 мл, масса 591-598 г. Округляю до 0,6 кг на сторону и держу в голове, что это выборка женщин с большой грудью, а не срез населения.

Частота. Беговой каденс лежит в диапазоне 160-180 шагов в минуту, то есть 2,7-3,0 шага в секунду. Беру 2,8 Гц.

Амплитуда. Здесь у меня допущение, а не замер. Полный размах вертикального смещения при беге без хорошей поддержки принимаю за 10 см, то есть амплитуда колебания A = 0,05 м. Порядок величины сходится с публикациями по чашке D, но конкретное число я выбрала сама, и все выводы ниже к нему привязаны линейно.

Расчёт

Приближение простейшее: движение по синусоиде, x(t) = A·sin(2πft), и тогда максимальное ускорение считается так:

a = A·(2πf)²

Подставляю: (2π·2,8)² = 17,6² = 309, дальше 0,05 x 309 = 15,5 м/с². Это около 1,6 g.

Инерционная составляющая силы по второму закону Ньютона:

F = 0,6 x 15,5 = 9,3 Н

К ней в нижней точке траектории добавляется вес самой массы: 0,6 x 9,8 = 5,9 Н. Складываю, потому что в нижней точке ускорение направлено вверх, а вес вниз, и удерживающая конструкция принимает обе величины:

9,3 + 5,9 = 15,2 Н

Пятнадцать ньютонов на одну сторону. Это вес полуторалитровой бутылки, приложенный к площадке размером с ладонь, и приложенный не однократно, а с частотой почти три раза в секунду.

Сверка с лабораторным замером

Расчёт на салфетке ничего не стоит, пока его не с чем сравнить. В той же работе Мак-Ги и соавторов силу измеряли напрямую, датчиками между телом и изделием.

Стоя вертикальная составляющая суммарной силы по обеим сторонам вышла 11,7 +- 4,6 Н. При беге на дорожке измеряли уже по одной стороне: 8,7 +- 6,4 Н в изделии с высокой поддержкой и 14,7 +- 10,3 Н в изделии с низкой.

Сверяю оба своих числа.

Статика: 5,9 Н на сторону, значит 11,8 Н на две. Замер дал 11,7. Здесь совпадение и не могло не случиться — стоя сила равна весу, и обе величины считаются из одной и той же массы.

Динамика: расчётные 15,2 Н против замеренных 14,7 Н при низкой поддержке. Вот это совпадение лучше, чем заслуживает приближение с придуманной амплитудой, и обольщаться им не стоит: стандартное отклонение в замере +- 10,3 Н, то есть разброс между участницами больше двух третей самого среднего. Правильный вывод отсюда осторожный: модель «масса на ускорение» описывает происходящее верно по порядку величины и по структуре, а вот предсказывать по ней силу для конкретного человека нельзя.

Чем из этой формулы вообще можно управлять

В выражении F = m·A·(2πf)² три множителя, и полезно посмотреть, кто ими распоряжается.

Массу задаёт анатомия, а частоту задаёт бегун: она держится в узком диапазоне и определяется техникой, а не изделием. Остаётся амплитуда — единственная величина, на которую влияет то, что надето.

Причём влияет линейно: срезали размах вдвое — вдвое упала сила. Это и есть содержание слова «поддержка», выраженное в измеримых единицах.

Насколько её срезают реально, тоже измерено, и сводные числа по опубликованным сравнениям такие: относительно бега без бюстгальтера компрессионные модели снижают смещение примерно на 51 %, капсулирующие — примерно на 59 %. Это и есть два основных типа, между которыми выбирают, когда покупают спортивный бюстгальтер. Компрессия прижимает массу к грудной клетке целиком, капсуляция даёт каждой стороне отдельную формованную чашку и фиксирует их по отдельности.

Пересчитываю свои 15,2 Н через эти доли: компрессия оставляет около 7,4 Н, капсуляция около 6,2 Н. Разница между двумя типами конструкции — примерно 1,2 Н, и она заметно меньше того самого разброса между людьми в +- 10,3 Н.

Отсюда следует вещь, которая мне кажется главной в этом расчёте. Спор «компрессия или капсуляция», занимающий половину обзоров, стоит около 8 % смещения. Спор «есть поддержка или нет» стоит больше половины. Порядки разные, а внимания им уделяют обратно пропорционально.

Куда сила уходит дальше

Пятнадцать ньютонов надо во что-то упереть, и вариантов ровно два: плечи через бретели либо грудная клетка через пояс.

Считаю давление на опору. Бретель шириной 2 см контактирует с плечом на длине сантиметров пяти, это порядка 10 см². Пояс охватывает грудную клетку кольцом: длина около 70 см, ширина 3 см, площадь около 200 см².

15 / 10 = 1,5 Н/см² против 15 / 200 = 0,075 Н/см²

Двадцатикратная разница в давлении при одной и той же силе. Плюс к тому бретель приложена к плечу сверху и тянет его вперёд и вниз, а пояс замкнут в кольцо и работает на растяжение по всей длине.

Поэтому в спортивной конструкции широкий пояс с жёсткой резинкой — не про «плотную посадку» в маркетинговом смысле, а про то, куда уходят те самые ньютоны. И поэтому же сползающий вверх пояс переносит нагрузку на бретели: если он не держит, единственная оставшаяся опора — плечи, а там площадь в двадцать раз меньше.

Сколько это повторяется

Частота 2,8 Гц означает 2,8 цикла нагружения в секунду. Получасовая пробежка — это около 5 000 циклов, каждый с пиком порядка 15 Н без поддержки и 6-7 Н с ней.

Для материала это классическая усталостная нагрузка: эластановая нить в резинке пояса за одну пробежку получает пять тысяч циклов растяжения. Ресурс изделия определяется именно этим числом, а не тем, сколько раз его стирали, — хотя стирка добавляет свой механизм.

Чего я не нашла

Три дырки, и они мешают довести расчёт до нормальной точности.

Первое — распределение массы по популяции. Единственные известные мне числа получены на выборке женщин с большой грудью, обратившихся к специалистам. Что происходит на всём диапазоне, по открытым публикациям не восстановить, а масса входит в формулу первой степенью.

Второе — амплитуда, которую я задала сама. Опубликованные значения смещения зависят от скорости, от чашки и от способа крепления маркеров, и свести их в одну зависимость «размах от скорости» у меня не получилось.

Третье и самое интересное — нет данных о том, как амплитуда зависит от натяжения пояса. Это ровно тот параметр, который регулируется застёжкой на теле пользователя, то есть единственная настройка системы, доступная снаружи. Кривая «натяжение — остаточное смещение» напрашивается, и я её не нашла.

Итог, который стоило посчитать: изделие, которое подбирают по двум буквам на бирке, работает на удержание переменной силы порядка пятнадцати ньютонов с частотой три раза в секунду, и ни одна из этих величин на бирке не написана.

Обе работы ищутся по фамилиям авторов и году — по кинематике бегового цикла и по силам между бюстгальтером и грудью при беге на дорожке.