Как измерить расстояние до недоступного объекта, не приближаясь к нему

Трос через реку нужно купить заранее, а сколько метров брать, неизвестно. Рулетку на тот берег не перебросишь. Переплыть и промерить можно, но это отдельное приключение, и не всегда безопасное. Остаётся прикинуть на глаз. Над водой глаз врёт особенно охотно: смотреть там не на что, ни забора, ни ряда деревьев, ни разметки, и ширина реки кажется то меньше, то больше настоящей.

Расстояние до такого объекта вычисляется, не сходя с берега. Для этого нужны две точки на своей стороне, рулетка (подойдут и шаги) и способ отмерить угол. Дальше работает школьная геометрия, а в двух способах из четырёх формулы не понадобятся вообще.

Прямой угол и угол в 45° из листа бумаги

Почти все способы ниже начинаются с прямого угла. Угольника в рюкзаке обычно нет, зато бумага найдётся. Угол листа формата А4, отрезанный на производстве, прямой. Если загнуть угол так, чтобы короткий край лёг вдоль длинного, на сгибе получится треугольник с углами 45°, 45° и 90°. Теперь под рукой и 90°, и 45°.

Бумага мнётся на ветру, поэтому надёжнее перенести угол на кусок картона или фанеры. Есть и вариант без заготовок: верёвка, размеченная узлами на 12 равных частей. Если натянуть её треугольником со сторонами 3, 4 и 5 частей, угол между короткими сторонами получится прямой.

Способ 1. Пройти вдоль берега, пока угол не станет 45°

Самый быстрый способ, если берег на нужном участке прямой. Объект C стоит на том берегу, и нужно узнать расстояние до него по прямой, перпендикулярной берегу.

• Встать так, чтобы направление на C шло под прямым углом к берегу: один край угольника лежит вдоль берега, другой смотрит на объект. Воткнуть в этой точке колышек A.

• Пойти вдоль берега, держа в руках угол в 45°. Один его край всё время направлен назад, на колышек A, другой смотрит на объект.

• Остановиться, когда второй край точно ляжет на объект. Это точка B.

• Измерить рулеткой или шагами отрезок AB.

Объяснение короткое. В треугольнике ABC угол при A прямой, а угол при B равен 45°, значит, и третий угол равен 45°. Такой треугольник равнобедренный, и AB равно AC. Ширина реки равна пройденному расстоянию.

Способ 2. Колышки и равные треугольники

Угол в 45° получить не всегда удаётся, а прямой почти всегда. Для этого случая подходит способ, в котором достаточно одного прямого угла и рулетки. Лучше работать вдвоём: один смотрит, второй переставляет колышек.

1. Найти точку A прямо напротив объекта C (угол между берегом и направлением на C прямой) и воткнуть колышек.
2. Отмерить вдоль берега любое расстояние и воткнуть колышек B. Расстояние лучше взять побольше, метров десять-двадцать, чтобы потом не ошибиться на глаз.
3. Отмерить от B вдоль того же берега такое же расстояние и воткнуть колышек D. Теперь AB равно BD.
4. Встать в D и повернуться спиной к реке под прямым углом к берегу. Идти в этом направлении, пока колышек B и объект C не окажутся на одной линии с глазом. Эту точку можно пометить колышком E.
5. Измерить DE. Оно равно расстоянию AC.

Почему это работает: у треугольников ABC и DBE равны стороны AB и BD, прямые углы при A и D и вертикальные углы при B. Значит, треугольники равны целиком, и сторона DE повторяет AC. Самое интересное в этом способе то, что измерять приходится только на своём берегу, а «через воду» нужно лишь смотреть.

Способ 3. База и два угла, когда прямой угол не выходит

Берег бывает заросшим, крутым или кривым, и точку напротив объекта не найти. Тогда выручает общий способ. Две точки на берегу, A и B, задают базу длиной b. Из A измеряется угол α между базой и направлением на объект, из B угол β. Одна сторона и два прилежащих угла полностью определяют треугольник, поэтому всё остальное можно вычислить.

Рис. 2. База AB и два угла: расстояние до берега с объектом равно h

Расстояние от своего берега до объекта получается по формуле:

h = b · sin α · sin β / sin (α + β)

А расстояние по прямой от точки A до объекта:

AC = b · sin β / sin (α + β)

Пример. База 50 м, α равен 60°, β равен 45°. Синусы берутся из калькулятора на телефоне: sin 60° ≈ 0,866, sin 45° ≈ 0,707, sin 105° ≈ 0,966. Тогда h ≈ 50 · 0,866 · 0,707 / 0,966, то есть около 31,7 м. Расстояние от A до объекта по прямой получается около 36,6 м.

Без тригонометрии то же решается чертежом. Нужно взять базу в выбранном масштабе (50 м как 5 см), отложить транспортиром от концов отрезка углы 60° и 45° и провести лучи до пересечения. Высота получившегося треугольника, измеренная линейкой и умноженная на масштаб, даёт ответ.

Углы удобно мерить транспортиром с отвесом или обычным компасом. По компасу берут азимут направления на базу и азимут на объект из каждой точки, а α и β получают вычитанием. Компас в телефоне часто врёт на несколько градусов. Для длинной базы это терпимо, для короткой нет, причина в следующем разделе.

Способ 4. Линейка на вытянутой руке, если размер объекта известен

Бывает, что на том берегу стоит нечто знакомое по размеру: дверь сарая, лодка известной длины, опора ЛЭП, человек, которого можно попросить встать на видном месте. Тогда хватит линейки и подобных треугольников.

Нужно зажать линейку в вытянутой руке, закрыть один глаз и измерить в миллиметрах, какую часть линейки закрывает объект. Заранее стоит измерить расстояние от глаза до линейки, то есть длину вытянутой руки. Дальше формула такая:

расстояние = размер объекта x расстояние до линейки / размер на линейке

Допустим, знакомый ростом 1,8 м стоит на другом берегу. Рука с линейкой вытянута на 65 см, а на линейке он занимает 9 мм. Расстояние равно 1,8 · 650 / 9 = 130 м. Размер и «размер на линейке» должны быть в одних единицах. Здесь они в разных, поэтому 65 см переведены в 650 мм.

Точность зависит от того, насколько знаком объект. Если человек на самом деле выше или ниже, чем предполагалось, расстояние уйдёт на ту же долю в ту же сторону.

Откуда берётся ошибка

Главный враг способа 3 и его собратьев, короткая база. Когда точки A и B стоят близко друг к другу, лучи на объект почти параллельны, и маленькая ошибка в угле превращается в большую ошибку в расстоянии.

Цифры. Объект в 30 метрах, база 5 м. Если один из углов измерен с ошибкой в 1°, расстояние уезжает примерно на 11%. При базе 30 м та же ошибка в 1° даёт около 3%. Поэтому базу берут не короче трети расстояния, а лучше длиной в половину.

Другие причины неточностей скучнее. Провисшая рулетка, кривая линия колышков, берег с уклоном, из-за которого рулетка лежит не по горизонтали, и привычка округлять углы до «круглых» значений. Если замер важен, его делают дважды разными способами. Расхождение больше десяти процентов значит, что где-то закралась ошибка в базе или в углах.

Что выбрать на месте

На ровном берегу с чистым участком подойдёт способ 1: нужен лист бумаги и немного терпения. Если не получается нащупать 45°, выручат равные треугольники из способа 2. Берег кривой, а под рукой есть компас или транспортир, значит, нужен способ 3. Когда на том берегу стоит что-то известного размера, достаточно линейки из способа 4, и ходить по берегу совсем не придётся.