Физики отменили вердикт о «мнимости» Вселенной: как исправление одной математической ошибки вернуло квантовой теории обычные числа

Любой физический прибор фиксирует исключительно действительные величины. Стрелки измерительных шкал, цифровые датчики и спектрометры регистрируют координаты в пространстве, длительность временных интервалов, температуру, электрический заряд, энергию или силу тока. В наблюдаемых данных материального мира нет и никогда не было мнимой единицы — числа, квадрат которого равен минус единице.

Тем не менее фундаментальная квантовая теория, описывающая поведение микромира на протяжении последнего столетия, целиком опирается на комплексные числа. Они входят в уравнение движения Шрёдингера, определяют структуру квантовых состояний и правила расчета вероятностей.

Долгое время среди теоретиков продолжался спор: являются ли комплексные числа обязательным условием для существования квантовых законов, или физическую реальность можно столь же строго описать исключительно на базе действительных чисел?

В 2021-2022 годах международное сообщество решило, что в этом споре поставлена точка. Серия теоретических расчетов и лабораторных экспериментов показала, что квантовая механика на действительных числах не способна объяснить статистику измерений в сложных системах из нескольких частиц. Комплексную природу квантового мира объявили фундаментально доказанной.

Однако исследование физиков из Германского аэрокосмического центра и Дюссельдорфского университета имени Генриха Гейне доказало обратное. Предыдущий вывод базировался на ошибочном математическом допущении. Если корректно сформулировать правила объединения квантовых подсистем, действительная квантовая механика дает абсолютно те же результаты, что и комплексная, и не может быть опровергнута ни одним физическим экспериментом.

Зачем квантовой физике понадобились комплексные числа

В классической механике и электродинамике комплексные числа используют исключительно как технический прием. Любые волновые процессы — распространение звука, радиосигналов или световых лучей — математически удобно записывать через комплексные экспоненты, объединяющие в себе тригонометрические функции синуса и косинуса.

Но в классической физике это лишь способ упростить вычисления: в конце расчетов мнимую часть всегда отбрасывают, а физическому процессу соответствует только действительная часть уравнения.

В квантовой механике ситуация иная. Состояние квантовой частицы задается волновой функцией, значениями которой выступают комплексные амплитуды вероятности. Каждое комплексное число содержит в себе две независимые характеристики: модуль (величину) и фазу (угол на комплексной плоскости).

Модуль комплексного числа определяет вероятность зарегистрировать частицу в той или иной точке пространства. Согласно базовому правилу квантовой теории — правилу Борна, — вероятность физического события равна квадрату модуля комплексной амплитуды. Чтобы его вычислить, нужно сложить квадрат действительной части числа и квадрат его мнимой части.

Фаза же определяет интерференцию. Когда два квантовых состояния накладываются друг на друга, их комплексные амплитуды складываются. Если фазы совпадают, состояния усиливают друг друга, а если направлены противоположно — полностью гасят. Это сложение фаз напрямую определяет физические свойства атомов, молекул и твердых тел.

При этом квантовая фаза обладает фундаментальным свойством: общая, или глобальная, фаза всей замкнутой квантовой системы принципиально ненаблюдаема. Если одновременно изменить фазу всех компонентов системы на один и тот же произвольный угол, физическое состояние не изменится. Квадрат модуля комплексных чисел останется прежним, и ни один прибор во Вселенной не зафиксирует разницы между исходным и повернутым состоянием.

Эта калибровочная свобода выбора фазы представляет собой ключевую симметрию квантового мира.

Первая модель: разделение комплексного числа на действительные компоненты

Попытки переписать квантовую механику на языке действительных чисел предпринимались еще в середине двадцатого века. Для одной изолированной квантовой частицы эта задача решается прямолинейно.

Поскольку любое комплексное число состоит из пары действительных чисел (действительной и мнимой частей), квантовое состояние можно представить в виде вектора в действительном пространстве удвоенной размерности.

Чтобы сохранить структуру теории, к описанию квантовой частицы добавляют вспомогательную двухмерную переменную — так называемый флаг, или действительный бит (ребит). Вектор состояния разделяется на два параллельных канала:

• действительную часть связывают с нулевым состоянием вспомогательного флага;
• мнимую часть связывают с единичным состоянием вспомогательного флага.

В таком представлении операция умножения на мнимую единицу превращается в геометрический поворот на девяносто градусов в двухмерной плоскости флага. Этот поворот меняет компоненты местами и инвертирует один из знаков.

Изменение глобальной квантовой фазы на произвольный угол становится обычным непрерывным вращением вектора состояния в плоскости флага.

Для одной отдельной частицы этот математический аппарат работает безупречно. Все физические наблюдаемые величины переводятся в действительные матрицы специальной блочной структуры. Расчеты вероятностей дают точные совпадения с предсказаниями стандартной квантовой механики, а вспомогательный флаг остается скрытым параметром, к которому нельзя получить прямой физический доступ в отдельном измерении.

Экспериментальный кризис: проверка теоремы Белла для многих участников

Сложности возникли при попытке описать квантовые системы, состоящие из нескольких удаленных друг от друга частиц.

В 2021 году группа физиков-теоретиков под руководством Марка-Оливье Рену разработала квантовый тест нового типа. Схема включала в себя трех пространственно разделенных наблюдателей (Алису, Боба и Чарли) и два независимых источника квантовых частиц, которые отправляли запутанные пары между участниками эксперимента.

Теоретики проанализировали, как должна вести себя подобная система, если законы микромира формулируются исключительно на основе действительных чисел. В расчеты было заложено стандартное математическое предположение: пространство состояний составной системы образуется путем прямого тензорного произведения пространств состояний входящих в нее подсистем.

Результат теоретического анализа показал строгое различие:

1. Если квантовая механика построена на действительных числах с использованием прямого тензорного произведения, то статистические корреляции между измерениями Алисы, Боба и Чарли не могут превышать определенного численного порога.
2. Комплексная квантовая механика предсказывает существенно более сильные корреляции, выходящие за этот предел.

В 2022 году две группы физиков-экспериментаторов реализовали эту схему на практике. Одна команда использовала фотонные квантовые цепи, другая — сверхпроводящие квантовые процессоры.

Оба эксперимента зафиксировали статистику, которая нарушала ограничения действительной модели и в точности соответствовала комплексной квантовой механике.

На основе этих опытов научное сообщество сформулировало вывод: формулировка квантовой теории без комплексных чисел экспериментально опровергнута, а мнимая единица является неустранимым элементом физической реальности.

В чем заключалась скрытая ошибка прежних моделей

Авторы новой публикации детально исследовали исходные посылки работ 2021-2022 годов и обнаружили, что опровержение действительной механики было следствием некорректно выбранного математического постулата.

Главная проблема заключалась в том, как именно объединялись пространства подсистем. Прямое тензорное произведение действительных пространств содержит два критических дефекта: раздувание размерности и уничтожение фазовой свободы.

Избыточные параметры

В стандартной теории пространство состояний двух квантовых битов (кубитов) описывается четырьмя комплексными числами. Это соответствует восьми действительным параметрам.

Если применить наивную действительную модель, то каждый отдельный кубит сначала превращается в четырехмерное действительное пространство (два параметра для исходного квантового состояния умножаются на два параметра вспомогательного флага).

Затем, при прямом тензорном перемножении этих пространств, их размерности перемножаются: четыре умножить на четыре дает шестнадцать параметров.

В математическом описании системы из двух частиц возникает шестнадцать действительных величин вместо требуемых восьми. Половина параметров оказывается искусственной избыточностью, не имеющей физического смысла.

Блокировка перераспределения локальных фаз

В комплексной квантовой механике существует базовое свойство: распределение фаз между независимыми подсистемами неоднозначно, но физически эквивалентно.

Если состояние первой частицы умножить на мнимую единицу, а состояние второй частицы — на минус мнимую единицу, то общее состояние составной системы не изменится. Произведение мнимой единицы на минус мнимую единицу строго равно единице. Локальные фазовые сдвиги компенсируют друг друга, и волновая функция пары частиц остается абсолютно тождественной исходной.

Однако прямое тензорное произведение действительных пространств с флагами не позволяет провести такую компенсацию. В нем состояние, где первая частица повернута на плюс девяносто градусов, а вторая — на минус девяносто, превращается в совершенно другой вектор, перпендикулярный исходному.

Математический аппарат прямого тензорного произведения начинает считать физически неразличимые конфигурации разными объектами. Он искусственно ограничивает взаимные вращения флагов и разрушает фазовую симметрию.

Именно это ограничение, а не использование действительных чисел само по себе, привело к заниженным корреляциям в расчетах Рену и последующему расхождению с результатами физических опытов.

Математическое исправление: переход к факторпространству

Чтобы построить непротиворечивую теорию, исследователи отказались от математического постулата прямого тензорного произведения. Вместо него они ввели строгий физический принцип: постулат локальности квантовых действий.

Этот постулат утверждает: любое локальное измерение или преобразование, выполняемое над одной квантовой подсистемой, не должно оказывать регистрируемого воздействия на изолированную от нее вторую подсистему. Математически это выражается в том, что операторы действий над разными подсистемами обязаны коммутировать: порядок их применения не должен влиять на итоговый результат.

Чтобы реализовать этот принцип на действительных числах без появления лишних измерений, авторы применили аппарат факторпространств.

Логика построения состоит из трех шагов:

1. Идентификация физической эквивалентности. Исследователи математически описали множество всех действительных векторов, которые получаются при различных распределениях фаз между подсистемами, но соответствуют одному и тому же комплексному квантовому состоянию.
2. Факторизация. Все векторы, разница между которыми сводится к ненаблюдаемому перераспределению фаз между флагами, были объединены в математические классы эквивалентности. Все избыточные степени свободы были отсечены через факторизацию пространства по ядру обратного преобразования.
3. Выбор базиса составного флага. Внутри каждого класса эквивалентности были строго определены канонические представители. Ими стали четные и нечетные симметричные комбинации состояний индивидуальных флагов подсистем.

В результате размерность действительного факторпространства для двух кубитов снизилась с шестнадцати параметров ровно до восьми. Пространство избавилось от математического балласта и стало точно соответствовать комплексному пространству двух квантовых частиц.

Доказательство полной эквивалентности двух теорий

Созданная авторами формулировка обладает доказанными математическими свойствами:

• Сохранение алгебраической структуры. Любое комплексное квантовое состояние и любой оператор измерения взаимно-однозначно переводятся в действительное факторпространство. Операторы сохраняют правила перемножения и коммутации.
• Выполнение принципа локальности. Воздействие локального оператора на подсистему не затрагивает флаги других удаленных подсистем недопустимым образом. Локальные операторы разных участников эксперимента строго коммутируют между собой.
• Тождество вероятностей. Средние значения всех физических величин и вероятности любых исходов измерений в действительной теории в точности совпадают со значениями, вычисленными по стандартным комплексным формулам.

Это означает, что действительная квантовая механика на базе факторпространств воспроизводит абсолютно все квантовые эффекты: интерференцию, квантовую запутанность, квантовую телепортацию и результаты многочастичных сетевых тестов Белла.

Физический и эпистемологический итог

Результат работы меняет взгляд на основы квантовой теории и статус математических понятий в физике.

Во-первых, эксперименты 2022 года не опровергли применимость действительных чисел к квантовому миру. Они опровергли лишь частную математическую гипотезу о том, что действительные квантовые системы обязаны объединяться через прямое тензорное произведение. При корректном учете фазовой эквивалентности через факторпространства действительная квантовая механика принципиально не может быть опровергнута экспериментально, так как ее физические предсказания на сто процентов совпадают со стандартной теорией.

Во-вторых, комплексные числа больше нельзя считать фундаментальной и незаменимой характеристикой материального мира. Физическая реальность не требует обязательного присутствия мнимой единицы в уравнениях природы. Мнимое число представляет собой инструмент математического языка, позволяющий компактно описывать двухмерные вращения и калибровочную симметрию внутри одного уравнения вместо использования более громоздких систем действительных матриц.

Комплексный формализм останется главным рабочим инструментом физиков из-за его вычислительного удобства и краткости записи. Однако новое доказательство подтверждает фундаментальный принцип: физические законы Вселенной инвариантны относительно выбора числового аппарата и могут быть полностью и непротиворечиво сформулированы на языке действительных величин.

Источник: Physical Review Letters