Эйнштейн был прав? Что на самом деле происходит со второй частицей, когда мы измеряем первую

Квантовая физика с момента своего создания содержит внутреннее противоречие, известное как проблема измерения. До тех пор, пока квантовая система изолирована от внешнего воздействия, ее поведение подчиняется уравнению Шрёдингера. Это математическое уравнение обладает важными свойствами: оно непрерывно, линейно и строго детерминировано. Зная параметры системы в начальный момент времени, физик может абсолютно точно вычислить ее состояние в любой последующий момент.

Однако в тот момент, когда экспериментатор включает регистрирующий прибор, чтобы зафиксировать физическую характеристику частицы, плавный расчет прерывается. Вместо гладкой эволюции физика наблюдает скачок: система случайным образом переходит в одно определенное состояние из множества потенциально возможных.

Чтобы согласовать плавные расчеты квантовых уравнений с дискретными показаниями приборов, создатели теории сформулировали постулат редукции волновой функции, который чаще называют волновым коллапсом. Этот постулат утверждает, что сам факт наблюдения заставляет квантовую суперпозицию мгновенно и случайно схлопнуться до одного конкретного числового значения. Физик Джон фон Нейман включил это положение в математические основы теории как базовое, неизменное правило.

Ситуация усложняется, когда объектом изучения становятся запутанные частицы. Если пара частиц рождается в общем источнике, между ними возникает квантовая запутанность. Если затем развести эти частицы на противоположные стороны лаборатории или на расстояние световых лет, они сохраняют внутреннюю взаимосвязь. Измерение параметров одной частицы моментально определяет результат измерения второй.

В рамках стандартной интерпретации это явление объясняют пространственным коллапсом: вмешательство прибора в первой точке пространства мгновенно преобразует состояние удаленной частицы во второй точке. Такое поведение называют квантовой нелокальностью. Поскольку изменение происходит мгновенно, физикам приходится подчеркивать, что полезный классический сигнал при этом не передается, а значит, принцип запрета на движение быстрее скорости света не нарушается. Тем не менее само мгновенное дистанционное влияние волновых функций остается источником споров на протяжении почти ста лет.

Физик Грегори Шоулз из Принстонского университета предложил строгое математическое решение этой проблемы. В своем теоретическом исследовании он доказал: квантовая механика не нуждается в гипотезе о физическом или случайном коллапсе. Проблема измерения и иллюзия дистанционного воздействия возникают исключительно из-за того, как современный аппарат физики описывает составные квантовые системы. Вернувшись к исходным правилам построения векторных пространств, ученый показал, что определенные результаты экспериментов выводятся напрямую из структуры уравнений.

Трудность разделения: составные системы и границы стандартного описания

Для математического описания квантовой частицы физики применяют гильбертово пространство — пространство, содержащее все возможные векторы состояний этой частицы. Для одиночного электрона вектор указывает вероятности того, что детектор зафиксирует собственный момент вращения электрона, направленный вверх либо вниз вдоль заданной оси.

Когда в эксперименте участвуют две независимые частицы, исследователи обязаны объединить два пространства состояний в общее описание. В линейной алгебре для этого применяется операция тензорного произведения. Объединенное пространство включает в себя все возможные комбинации индивидуальных параметров.

Если частицы не запутаны, состояние объединенной системы можно представить простым произведением двух независимых описаний. В таком случае измерение не вызывает вопросов: прибор воздействует на первую частицу в ее персональном пространстве, а вторая частица остается неизменной в своем собственном окружении.

Однако квантовая механика описывает и запутанные состояния. В таком состоянии две частицы, например, обладают строго противоположными значениями проекции спина, но ни у одной из них нет индивидуально выраженного направления до момента проведения эксперимента. В формулах такое состояние записывается как неразрывная сумма комбинированных состояний.

В этот момент возникает фундаментальное математическое противоречие между теорией и экспериментом:

1. Если экспериментатор проводит измерение над объединенной системой как над единым целым, измерительный оператор действует на все общее тензорное пространство сразу и выдает ровно одно значение для всей системы.
2. Однако на практике частицы физически разводят в пространстве. Один детектор устанавливается в первой лаборатории, второй детектор — во второй лаборатории. Первый прибор взаимодействует исключительно с первой частицей в границах ее локального пространства, а второй прибор делает то же самое со второй частицей. В результате исследователи фиксируют два независимых числовых значения.

В стандартном аппарате квантовой теории нет математического пути, который позволял бы напрямую перевести вектор запутанного состояния из объединенного тензорного пространства обратно в изолированные локальные пространства отдельных частиц. Чтобы закрыть этот логический пробел, авторы теории ввели правило волнового коллапса: они предположили, что сам процесс локального измерения физически разрушает исходную связь, случайно выбирая одно из слагаемых.

Шоулз показал, что данная проблема носит искусственный характер. Она существует только потому, что физики привыкли использовать сокращенное определение тензорного произведения, забывая об алгебраической структуре, на которой оно базируется.

Свободные векторные пространства: забытый фундамент алгебры

В фундаментальной математике тензорное произведение пространств не возникает само по себе как первичный объект. Оно конструируется через более глубокую и широкую структуру — свободное векторное пространство.

Чтобы построить объединенное описание двух пространств, математики в первую очередь формируют декартово произведение, то есть простой набор всевозможных упорядоченных пар состояний, в которых на первом месте стоит состояние первой частицы, а на втором — состояние второй.

Затем на основе этого набора строится свободное векторное пространство. Его элементами выступают формальные линейные комбинации пар состояний, умноженные на числовые коэффициенты.

Термин «формальные» означает, что на данном этапе математического описания между парами состояний еще не установлены никакие алгебраические правила. В свободном векторном пространстве еще нельзя складывать векторы внутри скобок или выносить за скобки общий числовой множитель. Пара, в которой состояние первой частицы умножено на двойку, и запись, в которой двойка стоит перед всей парой целиком, считаются двумя абсолютно разными базисными элементами. Они независимы и не равны между собой.

По этой причине свободное векторное пространство обладает чрезвычайно большой размерностью. Его объем многократно превосходит размерность того пространства, с которым обычно работают физики.

Чтобы перейти от избыточного свободного пространства к практическому тензорному пространству, математики проводят операцию факторизации, то есть объединения элементов по строгим правилам. Задаются требования билинейности: правила, согласно которым операции сложения и умножения на число должны вести себя одинаково независимо от того, применяются они к первому элементу пары, ко второму элементу или ко всей паре одновременно.

Все комбинации, нарушающие требования билинейности, приравниваются к нулю и образуют подпространство отношений. В результате процедуры факторизации возникает факторпространство.

Факторпространство объединяет множество различных формальных элементов свободного пространства в единые классы эквивалентности. Каждый такой класс в физике называют отдельным тензором.

Привычная волновая функция запутанного состояния существует именно внутри этого сжатого факторпространства. Она объединяет в один класс огромное число скрытых представителей свободного пространства, стирая их индивидуальные различия ради простоты расчетов. До тех пор пока система рассматривается как нераздельное целое, такое описание работает безупречно. Но при пространственном разделении частиц эта алгебраическая склейка перестает отражать физическую реальность.

Механика разделения: локальные проекции без физического скачка

Главная идея Грегори Шоулза заключается в следующем: физическое перемещение запутанных частиц в разные точки пространства отменяет применимость сжатого факторпространства.

Когда частицы удалены друг от друга, их невозможно исследовать с помощью одного глобального измерения. Приборы экспериментаторов воздействуют на систему только локально. Физический детектор в лаборатории не способен взаимодействовать с объединенным классом эквивалентности. Детектор реагирует на конкретное локальное состояние частицы.

Это означает, что математическое описание локального измерения должно обращаться не к сжатому факторпространству, а напрямую к исходному свободному векторному пространству, из которого оно было образовано.

В отличие от тензорного пространства, в свободном векторном пространстве существует строго определенная операция канонической проекции. Эта операция берет пару состояний в свободном пространстве составной системы и переводит ее в свободное пространство первой подсистемы, просто исключая вторую составляющую. После этого формальные элементы переводятся в стандартные физические векторы локального гильбертова пространства.

Шоулз детально рассчитал, как именно представители запутанных квантовых состояний ведут себя внутри свободного векторного пространства. Расчет показал, что совокупность представителей любого максимально запутанного состояния математически разделяется на два взаимодополняющих класса, которые автор обозначил как Класс 1 и Класс 2.

Эти классы различаются распределением относительной фазы — фундаментальной величины, которая определяет взаимосвязь между слагаемыми квантовой суперпозиции:

• В первом классе представителей фазовый множитель математически относится к состоянию второй частицы.
• Во втором классе тот же фазовый множитель относится к состоянию первой частицы.

Когда прибор выполняет локальную проекцию на представителя конкретного класса, в локальном пространстве частицы начинает действовать стандартная векторная арифметика. Компоненты формальной суммы складываются и вычитаются между собой. Все лишние слагаемые взаимно компенсируются и обращаются в ноль.

В результате вычислений Шоулза выясняется следующее:

1. Локальная проекция состояния из первого класса на детектор первой частицы дает строго определенный результат — например, значение, соответствующее состоянию логического нуля.
2. Одновременно с этим проекция того же состояния на детектор второй частицы неизбежно дает противоположный результат — значение, соответствующее логической единице.
3. Для второго класса представителей система ведет себя зеркально: детектор первой частицы фиксирует единицу, а детектор второй частицы — ноль.

В этой схеме нет места случайному физическому разрушению суперпозиции. Определенное показание на шкале прибора возникает не из-за того, что волновая функция претерпела внезапный физический скачок при ударе о макроскопический объект. Определенный результат эксперимента — это естественный результат математической проекции вектора из свободного пространства на базис локального измерительного прибора.

Контекстуальность измерений и теорема Белла

На протяжении десятилетий физики неоднократно пытались устранить проблему коллапса с помощью теорий скрытых параметров. Суть таких теорий сводилась к предположению, что частицы обладают конкретными физическими свойствами изначально, с момента своего создания, а квантовая случайность отражает лишь неполноту знаний человека об этих скрытых метках.

В шестидесятые годы двадцатого века физик Джон Белл математически доказал, что любая классическая теория локальных скрытых параметров принципиально неспособна объяснить наблюдаемые квантовые явления. Эксперименты подтвердили справедливость выводов Белла: квантовые результаты обладают свойством контекстуальности. Это означает, что результат измерения не существует в объективно готовом виде до момента эксперимента; он определяется контекстом самого измерения — в частности тем, под каким именно углом физик ориентирует регистрирующий датчик.

Предложенная Шоулзом модель полностью сохраняет контекстуальность и согласуется с выводами теоремы Белла, не вводя никаких классических скрытых параметров.

В уравнениях Шоулза физические величины не закреплены в частицах заранее в виде жестких скрытых меток. Итоговые показания прибора зависят от выбранного направления измерения. Если физик решает измерить спин частицы не вдоль вертикальной, а вдоль горизонтальной оси, форма математической записи волновой функции изменяется. Для описания используется другой базис. Вследствие этого в свободном векторном пространстве выбирается другое семейство векторов-представителей, и операция локальной проекции формирует другие результаты.

Чтобы подтвердить работоспособность своего математического аппарата, Шоулз рассчитал вероятность совместных исходов для классической экспериментальной конфигурации. В ней измерительный прибор первой частицы ориентирован вдоль нулевого направления, а прибор второй частицы развернут под углом в двадцать два с половиной градуса.

Вычисление, выполненное через канонические проекции контекстных классов из свободного пространства, дало значение статистической связи между результатами, равное минус косинусу угла сорок пять градусов. Численно это составляет примерно минус ноль целых семьсот семь тысячных.

Если бы поведение системы определялось классическими законами с локальными параметрами, эта связь по модулю не могла бы превысить значения ноль целых пять десятых. Полученная Шоулзом величина превышает классический предел ровно в корень из двух раз. Она полностью воспроизводит квантовомеханический расчет и повторяет данные, которые физики регистрируют на реальных установках.

При этом меняется физическое осмысление процесса:

• В стандартном подходе считается, что измерение первой частицы посылает мгновенный нематериальный сигнал второй частице, заставляя ее состояние скорректироваться на расстоянии.
• В подходе Шоулза согласованность результатов исходно заложена в фазовых соотношениях векторов свободного векторного пространства. Углы поворота лабораторных приборов независимо друг от друга определяют, какая именно проекция этой структуры будет зафиксирована в каждой лаборатории. Прибор первой частицы не меняет физическое состояние второй частицы. Оба прибора независимо считывают согласованные проекции одной общей математической структуры.

Четыре ответа на фундаментальные вопросы квантовой теории

Разработанный Грегори Шоулзом подход позволяет внести ясность в фундаментальные вопросы оснований квантовой физики:

1. Природа редукции волновой функции. Постулат о физическом или вероятностном коллапсе волновой функции исключается из оснований теории. Появление фиксированного значения на датчике описывается непрерывным математическим действием: операцией канонической проекции из свободного пространства в локальное пространство прибора.
2. Проблема числа наблюдаемых величин. Теория объясняет, почему единое измерение над замкнутой составной системой дает один исход, тогда как измерения над разделенными частями дают два исхода. В первом случае измерительный оператор применяется к объединенному факторпространству. Во втором случае два независимых оператора применяются к локальным пространствам, в которые система проецируется из широкого свободного пространства.
3. Локальная независимость измерений. Корреляция результатов больше не требует сверхсветовой передачи возмущений через пространство. Измерения в удаленных лабораториях проводятся абсолютно независимо друг от друга. Их взаимная согласованность гарантируется структурой фаз исходного квантового состояния.
4. Статус квантовой нелокальности. Нелокальность перестает выглядеть как загадочное физическое дальнодействие между удаленными телами. Она оказывается прямым следствием геометрии линейных пространств: результатом того, как именно процедура факторизации объединяет независимые элементы в общие классы, и как процедура измерения проецирует их обратно.

Концепция Шоулза переводит многолетний кризис квантовых измерений из области философских разногласий в русло строгого математического анализа. Если на протяжении столетия физика соглашалась с тем, что акт наблюдения грубо прерывает законы квантовой динамики, то обращение к строгим истокам векторной алгебры показывает обратное. Квантовая механика способна сохранять математическую строгость и непрерывность на всех этапах эксперимента. Для этого требовалось лишь учесть полную структуру пространств, в которых формулируются законы микромира.

Источник: arXiv