Демон Лапласа мертв: почему даже зная все параметры мира, нельзя предсказать его будущее

В классической науке долгое время существовало фундаментальное убеждение: если физическая система подчиняется строгим законам и в ней нет случайных факторов, ее будущее полностью определено прошлым. Из этого следовал прямой практический вывод: зная начальное состояние такой системы и правила ее изменения, наблюдатель или вычислительная машина может точно рассчитать ее состояние в любой последующий момент времени.

До сих пор физика знала только две фундаментальные причины, по которым детерминированная система может оказаться непредсказуемой на практике.

Первая причина — динамический хаос. В таких системах малейшая неточность в измерении начальных параметров со временем нарастает с экспоненциальной скоростью. Поскольку ни один физический прибор не способен измерить параметры с бесконечной точностью, долгосрочный прогноз погоды или движения множества гравитирующих тел становится невозможным.

Вторая причина — вычислительная несводимость. В бесконечных системах (например, в универсальных вычислительных машинах или бесконечных клеточных автоматах) невозможно вычислить конечный результат быстрее, чем путем последовательного расчета абсолютно каждого промежуточного шага.

Однако если система состоит из конечного числа элементов, каждый из которых может принимать только строго определенные дискретные состояния, хаос в ней возникнуть не может. Ошибкам измерения здесь взяться неоткуда: состояние каждого элемента в каждый момент известно абсолютно точно. Число комбинаций в такой системе велико, но конечно. Следовательно, со временем система неизбежно зацикливается и повторяет свои состояния.

Казалось очевидным, что в такой замкнутой, конечной и свободной от хаоса системе конечный результат обязан читаться напрямую из начального состояния.

В исследовании, опубликованном в журнале Nature Communications, физики из Иллинойсского университета доказали, что это представление ошибочно. Они обнаружили третий источник непредсказуемости: структуры, которые позволяют определить будущее системы, могут полностью отсутствовать в начальный момент времени. Системе требуется время, чтобы самостоятельно создать физические признаки, делающие прогноз возможным.

Постановка эксперимента: система без фактора случайности

Чтобы исследовать границы предсказуемости, авторы создали математическую модель на основе обобщенного клеточного автомата. В этой модели нет непрерывных физических величин, случайных возмущений или внешних помех. Пространство разбито на треугольную сетку размером четырнадцать на четырнадцать ячеек. Чтобы исключить влияние краев, противоположные границы сетки замкнуты друг на друга: ячейка, смещающаяся за правый край, появляется слева, а ячейка, уходящая за верхний край, появляется снизу. С точки зрения геометрии такая замкнутая плоскость представляет собой тор.

Правила поведения ячеек воспроизводят биологические процессы межклеточной коммуникации, характерные для бактериальных сообществ или дифференцирующихся тканей живых организмов.

Устройство системы включает следующие компоненты:

• Каждая клетка содержит два регуляторных гена. Каждый ген может находиться только в двух положениях: включенном (высокая активность) или выключенном (низкая активность).
• Комбинация двух генов дает ровно четыре возможных дискретных состояния клетки.
• Клетки выделяют в окружающее пространство две сигнальные молекулы с интенсивностью, зависящей от активности их генов.
• Первая молекула стимулирует собственное выделение и подавляет выделение второй молекулы. Вторая молекула стимулирует выделение первой.
• Концентрация молекул снижается по мере удаления от источника, однако эффективный радиус передачи сигнала охватывает сразу несколько слоев окружающих ячеек.

На каждом шаге времени каждая клетка суммирует концентрации обеих молекул, поступивших от нее самой и от остальных клеток пространства. Если суммарная концентрация преодолевает заданный порог, клетка меняет состояние на следующее. Из-за взаимной регуляции молекул клетка циклически переходит между четырьмя состояниями, работая как дискретный автономный генератор колебаний. Все клетки на сетке обновляют свои состояния строго одновременно.

В зависимости от начального распределения клеток система после сотен или тысяч шагов всегда приходит к одному из трех устойчивых макроскопических результатов:

1. Статическое состояние — переключения полностью прекращаются, все ячейки застывают в неизменных фазах.
2. Прямолинейные волны — границы между фазами выстраиваются в прямые параллельные линии и бесконечно движутся через пространство в одном постоянном направлении.
3. Спиральные волны — на сетке формируются устойчивые вращающиеся круговые центры активности, непрерывно излучающие волны вокруг себя.

Система полностью детерминирована: конечный исход жестко предопределен начальным кадром. Для сетки четырнадцать на четырнадцать ячеек общее число возможных начальных состояний равно четырем в сто девяносто шестой степени — это число содержит сто девятнадцать десятичных знаков. Оно неизмеримо превышает общее количество атомов в обозримой части Вселенной, поэтому составить готовую справочную таблицу для всех вариантов невозможно.

Возникает фундаментальный вопрос: содержит ли начальное пространственное распределение клеток считываемую информацию о том, какой именно из трех финалов реализуется?

Полная слепота алгоритмов анализа данных

Современные методы машинного обучения специализируются на поиске сложных скрытых закономерностей в многомерных массивах информации. Исследователи применили алгоритмы машинного обучения в качестве объективного измерительного прибора: если в начальном распределении клеток есть хоть какие-то признаки будущего исхода, вычислительные модели должны их обнаружить.

Задачу максимально упростили, сведя ее к бинарному выбору: завершится ли эволюция системы полной остановкой (статикой) или перейдет в любой динамический волновой режим (прямолинейный или спиральный).

Физики сгенерировали один миллион независимых компьютерных симуляций, начатых с полностью неупорядоченных случайных состояний. Из этого массива восемьсот пятьдесят тысяч симуляций передали алгоритмам для обучения, пятьдесят тысяч использовали для промежуточной калибровки, а оставшиеся сто тысяч оставили для контрольной проверки.

В эксперименте задействовали широкий спектр аналитических архитектур:

• Линейные статистические классификаторы (логистическая регрессия);
• Ансамбли решающих деревьев (градиентный бустинг, случайные леса);
• Глубокие полносвязные нейронные сети;
• Сверточные нейронные сети, анализирующие двумерное пространство связей;
• Модели с механизмами пространственного внимания (трансформеры).

Результат оказался идентичным для всех типов архитектур: точность предсказания составила ровно пятьдесят процентов. Это эквивалентно случайному выбору при подбрасывании монеты.

Увеличение объема обучающих данных с одной тысячи до сотен тысяч примеров не повысило точность. Наращивание глубины нейросетей и числа параметров также не изменило результат: кривые обучения выходили на уровень половины правильных ответов и полностью останавливались.

Одновременно авторы рассчитали нормированную взаимную информацию между начальным состоянием каждой отдельной ячейки и финальным исходом. Это значение оказалось строго равным нулю. Ни одна конкретная клетка на старте не имеет статистической связи с будущим системы.

При этом система продемонстрировала предельную чувствительность. В серии из пятисот восьмидесяти восьми испытаний ученые меняли состояние всего одной ячейки на стартовой сетке из ста девяноста шести клеток, оставляя остальные нетронутыми. В половине случаев изменение единственного микроскопического элемента полностью меняло итоговый макроскопический класс: например, система вместо перехода в покой формировала устойчивую спиральную волну.

Это привело к неожиданному выводу: финал системы однозначно предопределен с самого начала, однако извлечь информацию о нем из начального распределения невозможно в принципе.

Возникновение вихрей и сохранение топологического заряда

Чтобы выявить скрытые механизмы процесса, авторы изменили форму описания состояний. Вместо номеров от единицы до четырех каждой ячейке сопоставили пространственное направление ее фазы:

• Первое состояние: ноль градусов (направление вправо);
• Второе состояние: девяносто градусов (направление вверх);
• Третье состояние: сто восемьдесят градусов (направление влево);
• Четвертое состояние: двести семьдесят градусов (направление вниз).

При таком представлении на решетке проявились скрытые пространственные структуры. В точках, где соприкасались ячейки с противоположными фазами (разность фаз составляет сто восемьдесят градусов), возникали особые геометрические центры — центры фазовых вихрей.

Если обойти такой центр по замкнутому периметру соседних ячеек и сложить фазовые изменения между ними, суммарный угол поворота вектора всегда оказывается кратным полному обороту в триста шестьдесят градусов. На основе этого значения авторы разделили все возникающие вихри на три категории по их топологическому заряду:

• Вихри с зарядом плюс один: при обходе периметра против часовой стрелки направление фазы совершает полный оборот на триста шестьдесят градусов в ту же сторону;
• Вихри с зарядом минус один: при обходе периметра фаза совершает полный оборот на триста шестьдесят градусов в обратную сторону;
• Нейтральные структуры с зарядом ноль: суммарный угол поворота при полном обходе равен нулю.

Поскольку поверхность тора замкнута и не имеет границ, геометрия накладывает жесткое ограничение: сумма всех топологических зарядов на поверхности всегда должна быть строго равна нулю.

В исходных микроскопических уравнениях клеточного автомата этого правила не было. Однако законы пространства привели к возникновению строгого физического закона: вихри не могут рождаться или исчезать поодиночке. Они всегда возникают и распадаются строго скоординированными парами из положительного и отрицательного дефекта.

Отслеживание поведения вихрей во времени выявило три последовательных этапа:

1. Этап формирования дефектов. За первые десять-двадцать шагов времени из начального беспорядка спонтанно возникает максимальное число вихрей всех трех классов.
2. Этап распада и перемещения. Нейтральные структуры распадаются в среднем за десять шагов. Заряженные же вихри существуют сотни и тысячи тактов. Они перемещаются по решетке, причем статистика изменений расстояний между ними строго соответствует нормальному закону распределения Гаусса. Вихри совершают классическое ненаправленное случайное блуждание.
3. Этап взаимного распада. На больших дистанциях вихри не взаимодействуют. Но когда положительный и отрицательный вихри случайно сходятся на расстояние двух ячеек, их контуры перекрываются, заряды нейтрализуют друг друга, и пара полностью исчезает.

Число вихрей на сетке снижается ступенями. При этом интервалы между моментами распада непрерывно возрастают: каждая последующая пара вихрей существует дольше предыдущей.

Авторы создали простую модель случайно блуждающих материальных точек противоположных знаков, исчезающих при прямом контакте. Эта элементарная модель воспроизвела временные параметры сложного клеточного автомата со степенью соответствия в девяносто пять процентов.

Именно число уцелевших вихрей определяет финальный макроскопический режим:

• Если в результате случайных блужданий абсолютно все вихри распадаются за счет друг друга, система переходит в статическое состояние или образует прямолинейные волны.
• Если хотя бы одна пара вихрей не успевает столкнуться до стабилизации общего фона, система гарантированно образует спиральные волны. В подавляющем большинстве спиральных режимов до финала доживает ровно одна пара дефектов.

Поле намотки: сборка информации во времени

Связь между исчезновением вихрей и конечным состоянием объяснила механику процесса, но не сняла главного парадокса: почему будущее нельзя вычислить заранее, если траектории вихрей строго детерминированы начальным кадром?

Разгадка обнаружилась в пространственных структурах, связывающих вихри между собой. Если соединить соседние клетки с одинаковой фазой, они образуют непрерывные линии одного состояния — цепочки связи. Каждая пара разноименных вихрей соединена четырьмя такими цепочками (по одной для каждой из четырех фаз).

На замкнутой поверхности тора любая непрерывная замкнутая линия принадлежит к одному из двух геометрических типов:

• Стягиваемый контур — локальная петля, лежащая на одной стороне поверхности. Ее можно непрерывно уменьшить до одной точки.
• Нестягиваемая петля — линия, которая проходит через все пространство и замыкается сама на себя через противоположную границу (по горизонтали или по вертикали). Ее невозможно стянуть в точку без физического разделения.

На основе этой геометрии физики построили комплексную характеристику решетки — поле намотки.

Для каждой клетки алгоритм находит связную область соседних ячеек той же самой фазы. Затем вычисляется индекс намотки этой области: пара чисел, указывающая, сколько полных оборотов вокруг тора совершает эта область по горизонтали и по вертикали. Полученные значения присваиваются каждой клетке внутри этой связной группы.

Поле намотки полностью игнорирует локальную фазу конкретной клетки: значение имеет лишь то, охватывает ли данная область все пространство системы или замкнута локально.

Измерение поля намотки во времени выявило решающий факт:

1. В начальный момент времени поле намотки равно нулю во всех узлах решетки. При максимальном начальном беспорядке размеры однофазных групп минимальны. Ни один участок не может протянуться через все пространство. Индекс намотки для ста процентов клеток строго равен нулю.
2. Поле намотки образуется исключительно в динамике. По мере того как мелкие вихри распадаются за счет друг друга, области одинаковых фаз объединяются и замыкаются через границы системы. Поле намотки медленно распространяется по решетке, охватывая все большее число клеток.
3. Поле намотки содержит в себе практически всю информацию о будущем. Когда исследователи подали сверточной нейросети только карту поля намотки, скрыв реальные фазы и цвета клеток, точность предсказания будущего оказалась точно такой же, как при анализе полной детальной конфигурации решетки.

Это объяснило причину полной слепоты аналитических алгоритмов на старте: признак, определяющий долгосрочное развитие системы (глобальная связность пространства), в начальной конфигурации физически равен нулю. Он не спрятан в микроскопических деталях — его в этот момент времени не существует. Он появляется лишь тогда, когда система проживет сотни шагов во времени.

Временная асимметрия прогноза

Когда исследователи стали подавать алгоритмам кадры системы, взятые на разных этапах ее эволюции, точность прогнозирования начала расти. От исходных тридцати трех процентов (случайный выбор одного из трех исходов) точность поднялась до шестидесяти пяти процентов к середине процесса и приблизилась к ста процентам перед самым формированием итогового режима.

Однако скорость появления определенности оказалась принципиально разной для разных вариантов финала:

Статика и прямолинейные волны

В симуляциях, идущих к полному распаду дефектов, нестягиваемые петли начинают систематически рваться задолго до конца процесса. В скользящем окне наблюдений доля времени, когда число таких петель падает до нуля, непрерывно увеличивается. В момент распада последней пары вихрей поле намотки скачкообразно расширяется, заполняя сто процентов объема пространства. За счет этого нейросеть начинает безошибочно прогнозировать статический исход и параллельные волны уже после завершения сорока процентов от общего времени процесса.

Спиральные волны

Процессы, порождающие спирали, развиваются иначе. Число нестягиваемых петель в них непрерывно колеблется около единицы. На протяжении восьмидесяти процентов общего времени симуляция, которая приведет к спирали, статистически неотличима от симуляции, где вихри в итоге стираются. Вплоть до восьмидесяти процентов времени точность прогноза спирали для нейросети не превышает пятидесяти шести процентов. Спиральный финал становится предсказуемым лишь в последние мгновения перед физическим замыканием фронта волны.

Анализ сходства траекторий подтвердил это разделение. Исследователи проанализировали изменение суммарной площади вихревых центров. Из двух тысяч независимых симуляций, завершающихся статикой, за двадцать шагов до конца остается всего сто восемьдесят уникальных числовых профилей: разнообразие путей снижается более чем на девяносто процентов. Происходит быстрое стягивание множества сценариев к единому стандартному поведению. В случае же спиральных волн система сохраняет высокое разнообразие конфигураций вплоть до финального момента.

Значение открытия для науки и технологий

Эксперимент иллинойсских физиков проводит строгое различие между двумя понятиями, которые классическая наука считала неразделимыми: формальным детерминизмом и практической предсказуемостью.

Формальный детерминизм — это фундаментальное свойство самих законов физической системы. Он означает, что текущее состояние однозначно определяет следующее, исключая любую неопределенность. В исследованной модели детерминизм абсолютен: траектория зафиксирована с самого начала, и система ни на одном этапе не совершает случайного выбора.

Практическая предсказуемость — это свойство информации, доступной наблюдателю. Чтобы наблюдатель или компьютер мог определить будущее состояние системы, в ее текущем состоянии должны присутствовать физические структуры, несущие эту информацию.

Если в начальный момент времени компоненты системы распределены хаотично, то:

• Локальные состояния клеток не содержат корреляции с конечным результатом;
• Глобальные топологические характеристики (поле намотки) равны нулю;
• Сами физические дефекты (вихри) еще не сформировались.

В таких условиях прогноз невозможен не из-за слабости вычислительных алгоритмов или недостатка обучающих данных, а из-за физического отсутствия прогностического сигнала в начальной точке. Информационные структуры формируются самой системой шаг за шагом в ходе ее внутренней динамики.

Этот результат имеет прямое значение для прикладных областей:

1. Границы применения предиктивного искусственного интеллекта. Глубокие нейронные сети активно используют для прогнозирования поведения сложных сред: динамики атмосферы, турбулентных потоков жидкостей, сворачивания белковых молекул или поведения плазмы в термоядерных установках. Работа демонстрирует, что попытка предсказать исход сложного коллективного процесса напрямую из первичного состояния упирается в фундаментальный физический барьер. Если признак, определяющий судьбу системы, возникает только в процессе движения, никакое масштабирование вычислительных мощностей не позволит сделать прогноз раньше, чем система сама сформирует этот признак.
2. Биологическое формообразование. Развитие живого организма из оплодотворенной яйцеклетки происходит без внешнего управляющего центра. Клетки обмениваются локальными химическими сигналами, и из первоначально однородной массы формируются сложные геометрические структуры органов. Открытие показывает, как в строго детерминированных системах пространственный порядок и определенность общего исхода могут динамически собираться во времени за счет взаимодействия дефектов и глобальной связности пространства, не требуя предварительного кодирования формы на уровне отдельных элементов.
3. Физика неравновесных сред. Описанный механизм требует соблюдения всего трех базовых условий: циклических переходов между состояниями элементов, пространственной передачи сигнала на расстояние нескольких соседей и замкнутой геометрии области взаимодействия. Этим критериям отвечает широкий класс реальных объектов: возбудимые биологические ткани, колонии микроорганизмов, решетки полупроводниковых лазеров и матрицы сверхпроводящих контактов.

Главный итог исследования меняет взгляд на природу детерминированных процессов: в строго определенном мире будущее может быть полностью зафиксировано с первого мгновения, но принципиально нечитаемо на ранних стадиях. Время в таких системах выступает не просто параметром отсчета, а физическим процессом, который последовательно создает структуры, делающие будущее видимым.

Источник: Nature Communications