Почему физических констант на самом деле не существует и как физика запрещает случайные числа в законах природы

В автобиографических заметках Альберт Эйнштейн сформулировал глубокую гипотезу: фундаментальные законы природы не должны содержать свободных параметров. По мнению ученого, физическая теория верхнего уровня не может включать в себя величины, значения которых приходится подбирать вручную или брать из эксперимента как некую данность. Если в законах Вселенной присутствует фундаментальная константа — например, масса электрона или гравитационная постоянная, — то ее значение должно определяться внутренней математической логикой и динамикой самой теории, а не вводиться в уравнения искусственным путем.

Долгое время это утверждение оставалось в области философских рассуждений. Однако развитие квантовой теории поля, струнной физики и теории гравитации перевело гипотезу Эйнштейна в плоскость точных математических задач. Физики-теоретики из Европейской организации по ядерным исследованиям (CERN), Калифорнийского технологического института и университетов Японии и Италии опубликовали исследование, которое вплотную приближает нас к доказательству этого принципа.

Используя аппарат конформной теории поля и голографического соответствия, ученые показали: любая попытка непрерывно изменить параметры физической теории на квантовом уровне требует существования реальных физических полей, которые управляют этим процессом.

Проблема тонкой настройки и программа Swampland

Чтобы понять важность этого вывода, необходимо обратиться к структуре современной теоретической физики. Большинство рабочих моделей, которыми пользуются ученые для описания микромира (включая Стандартную модель элементарных частиц), представляют собой так называемые эффективные полевые теории. Они прекрасно работают при низких энергиях, но при попытке экстраполировать их на сверхмалые расстояния — туда, где начинает доминировать квантовая гравитация, многие из них теряют математическую согласованность.

В теоретической физике возникло четкое разделение пространства возможных законов природы на два класса:

1. Ландшафт (Landscape) — множество низкоэнергетических эффективных теорий, которые могут быть непротиворечиво объединены с квантовой гравитацией на фундаментальном уровне.
2. Болото (Swampland) — огромное число теорий, которые выглядят логичными и непротиворечивыми при низких энергиях, но принципиально не могут быть согласованы с квантовой гравитацией в ультрафиолетовом пределе (на экстремально малых расстояниях).

Программа Swampland формулирует математические критерии, которые позволяют определить, принадлежит ли конкретная теория к жизнеспособному ландшафту или же она обречена остаться в «болоте».

Одним из ключевых правил этой программы является «гипотеза о расстоянии». Ее фундаментальная часть, известная как Гипотеза 0, утверждает: все непрерывно меняющиеся параметры в согласованной теории квантовой гравитации должны определяться средними значениями легких физических полей (безмассовых скалярных величин).

Это означает, что физика не допускает существования статических констант, которые можно было бы плавно менять в уравнениях, не вызывая при этом физических последствий. Любое изменение константы должно быть результатом изменения состояния конкретного динамического поля.

Принцип голографии и масштабная инвариантность

Для исследования этого вопроса авторы работы применили голографический принцип, а именно AdS/CFT-соответствие. Это математическая дуальность, которая связывает сложную квантовую гравитацию в искривленном пятимерном пространстве (пространстве анти-де-Ситтера, AdS) с более простой, плоской конформной теорией поля (CFT) на его четырехмерной границе.

Голографическое соответствие позволяет переводить сложные гравитационные задачи на более строгий язык квантовой теории поля. Если в многомерной гравитации существует непрерывное семейство теорий с плавно меняющимися параметрами, то на четырехмерной границе этому семейству должно соответствовать непрерывное множество конформных теорий поля. В математике такое множество называют конформным многообразием.

Чтобы строго доказать Гипотезу 0, ученым нужно было показать, что любое конформное многообразие обязательно генерируется особыми математическими объектами — точно маргинальными операторами. Согласно голографическому словарю, именно эти операторы на границе соответствуют безмассовым скалярным полям в объеме пространства AdS.

Если точно маргинальные операторы существуют всегда, когда есть непрерывное семейство теорий, то и в квантовой гравитации все параметры неизбежно управляются динамическими полями.

Чтобы понять, что делает оператор «маргинальным», необходимо обратиться к понятию конформной симметрии. Конформные теории поля обладают свойством масштабной инвариантности. Это означает, что система выглядит одинаково на любых расстояниях — как при сильном приближении, так и при отдалении.

При добавлении нового взаимодействия в квантовую систему ее свойства обычно начинают меняться в зависимости от масштаба энергий (этот процесс описывается уравнениями ренормализационной группы). Физические величины, определяющие силу взаимодействия (константы связи), начинают «бежать» — их значения меняются.

• Если масштабная размерность оператора меньше размерности пространства-времени, взаимодействие усиливается на больших расстояниях. Такие операторы называют релевантными.
• Если размерность больше — взаимодействие затухает на больших расстояниях. Это иррелевантные операторы.
• Если размерность оператора в точности равна размерности пространства-времени, его влияние остается неизменным на любых масштабах. Такие операторы называют маргинальными.

Если маргинальный оператор сохраняет это свойство даже с учетом всех квантовых поправок и самодействий, он называется точно маргинальным. Именно такие операторы позволяют непрерывно изменять параметры теории, сохраняя ее конформную симметрию.

Метод конформного интерфейса и оператор смещения

Главное достижение авторов публикации — разработка строгого метода доказательства существования точно маргинаных операторов без привлечения частных модельных допущений. Для этого они применили концепцию конформного интерфейса.

Конформный интерфейс — это физическая граница раздела, стык двух конформных теорий поля с немного отличающимися параметрами (обозначим их как CFT-1 и CFT-2). Наличие такой границы неизбежно нарушает пространственную однородность: физические свойства системы меняются при переходе через стык.

Любая система стремится сопротивляться деформации этой границы. Математически это сопротивление и реакция системы на сдвиг интерфейса описываются фундаментальным локальным объектом — оператором смещения D. Он существует на границе раздела любых двух теорий и напрямую связан с изменением тензора энергии-импульса при переходе через границу.

В качестве математической модели оператор смещения выражается через разность компонент тензоров энергии-импульса двух пограничных систем: D = T1 + T1_bar — T2 — T2_bar = 2(T1 — T2)

Ученые провели строгий анализ предела, при котором различие между Теорией 1 и Теорией 2 стремится к нулю. В этом случае параметр деформации дельта-лямбда стремится к нулю. Граница раздела между теориями постепенно исчезает, превращаясь в пустое пространство, а две разные системы объединяются в одну.

Физиков интересовало: во что превращается оператор смещения D, когда граница, на которой он существовал, полностью исчезает?

Для ответа на этот вопрос авторы использовали нормированную версию оператора смещения: D_^ = D / (√N_D)

где N_D — нормировочный множитель, определяющий интенсивность флуктуаций оператора на границе. При исчезновении интерфейса этот множитель стремится к нулю.

Используя алгебру конформных симметрий и фундаментальное физическое требование положительности энергии (усредненное нулевое энергетическое условие, ANEC), исследователи доказали, что в пределе исчезающей границы оператор D_^ не исчезает. Он переходит в локальный первичный оператор объемной теории с конформными размерностями, в точности равными (1, 1) для двумерного случая.

Поскольку размерность этого предельного оператора строго равна размерности пространства-времени, он является маргинальным.

Затем авторы математически доказали, что трехточечная функция взаимодействия этого оператора с самим собой в пределе равна нулю. Это означает отсутствие квантовых аномалий, которые могли бы нарушить масштабную инвариантность при деформации теории. Оператор оказался точно маргинальным.

Таким образом, ученые доказали: если существует непрерывное семейство близких конформных теорий поля, разделенных интерфейсом, в объеме этой теории гарантированно существует точно маргинальный оператор. В рамках AdS/CFT-соответствия это напрямую доказывает Гипотезу 0 для квантовой гравитации: пространство параметров теории полностью определяется динамическими полями.

Разделимость симметрий как общий принцип

Дополнительная ценность проведенного исследования заключается в обнаружении глубокой связи между двумя фундаментальными запретами, действующими в квантовой гравитации:

1. Запрет на существование свободных, нединамических параметров (констант).
2. Запрет на существование глобальных непрерывных симметрий.

Ранее физики доказали, что квантовая гравитация в пространстве AdS принципиально несовместима с глобальными симметриями. В конформной теории поля на границе это доказательство опиралось на так называемое свойство разделимости генераторов симметрии.

Генератор непрерывной симметрии (заряд) можно представить как интеграл от сохраняющегося тока Нетер по пространственной поверхности. Свойство разделимости означает, что этот интеграл можно строго разделить на локальные вклады от отдельных областей пространства.

Авторы новой работы продемонстрировали, что непрерывное изменение параметров теории (движение по конформному многообразию) математически ведет себя как специфическая глобальная симметрия типа (-1)-формы.

Существование точно маргинального оператора, управляющего этими изменениями, оказалось прямым следствием свойства разделимости для этой скрытой симметрии.

Это позволяет объединить два важнейших свойства квантовой гравитации в рамках единой математической концепции. Физика без глобальных симметрий и физика без свободных параметров — это проявления одного и того же фундаментального принципа локальности квантовой информации на голографической границе.

Границы доказательства и открытые вопросы

Несмотря на строгость и общность полученного результата, авторы явно указывают на границы применимости своего доказательства и допущения, которые требуют дальнейшего анализа.

• Гипотеза о существовании интерфейса. Доказательство предполагает, что для любых двух близких точек на конформном многообразии существует конформный интерфейс, который тривиализируется, когда теории совпадают. На данный момент не существует общей математической теоремы, гарантирующей это для абсолютно любого класса CFT. Тем не менее, во всех известных физических моделях (включая свободные бозоны и суперсимметричные теории) это условие выполняется.
• Исключение нейтральных полей размерности (1/2, 1/2). Метод доказательства требует, чтобы в спектре объемной теории отсутствовали операторы с масштабной размерностью (1/2, 1/2), которые являются нейтральными относительно всех симметрий интерфейса. Это условие исключает из рассмотрения некоторые специфические модели, такие как теория Лиувилля. Однако для большинства физически интересных суперсимметричных сценариев (например, компактификаций на многообразия Калаби-Яу) подобные операторы обладают квантовыми числами (R-зарядами), что делает их нечувствительными к данному ограничению и сохраняет силу доказательства.

Философское и практическое значение для физики

Гипотеза Эйнштейна об отсутствии случайных чисел в фундаментальных законах природы находит свое математическое подтверждение. Исследование показывает, что квантовая гравитация устроена чрезвычайно жестко: в ней невозможно произвольно изменить ни одну константу взаимодействия.

Любое непрерывное изменение физических свойств системы должно иметь под собой динамическую основу. Если физик-теоретик пытается построить модель квантовой гравитации, в которой константы зафиксированы как неизменные внешние параметры, эта модель с высокой вероятностью окажется математически несостоятельной и попадет в Swampland («болото»).

Открытие авторов работы сужает область поиска истинной теории квантовой гравитации. Оно требует от исследователей рассматривать все фундаментальные константы как динамические переменные, уравнения для которых еще предстоит написать. Физика постепенно избавляется от необходимости ручной настройки параметров, заменяя ее законами внутренней симметрии пространства-времени.

Источник: Physical Review Letters