Вселенная не может быть симуляцией: физики доказали, что квантовую реальность нельзя оцифровать

Гипотеза о том, что окружающая нас физическая реальность представляет собой компьютерную симуляцию, давно переросла рамки научной фантастики. В академической среде ее обсуждают в контексте концепции «цифровой физики», сформулированной физиком Джоном Уилером в тезисе «все из бита» (it from bit), и философских работ Ника Бострома. Логика этой идеи предельно конкретна: если фундаментальные законы природы принципиально вычислимы, то поведение любой замкнутой физической системы можно с любой наперед заданной точностью смоделировать на достаточно мощном классическом компьютере — дискретной машине Тьюринга, оперирующей конечными массивами нулей и единиц.

В основе работы любого классического симулятора лежит неизменный закон: обмен информацией между моделируемыми узлами пространства должен быть конечным. Физический процесс не может требовать передачи бесконечного числа битов за конечный промежуток времени.

Однако в квантовой физике есть брешь, которая ставит под сомнение саму возможность существования классического сервера, моделирующего наш мир. Новое строгое математическое доказательство, опубликованное исследователями Карлосом де Гоисом, Тиаго Сантосом и Карлосом Виейрой, установило существование жесткого предела вычислимости квантовой реальности.

Физики доказали: чтобы в точности воспроизвести статистику измерений квантовой системы, состоящей всего из четырех базовых уровней — что эквивалентно двум обычным взаимодействующим кубитам, гипотетической Матрице потребуется передавать между приемником и передатчиком бесконечный объем классической информации. Конечный классический алгоритм терпит крах при попытке воссоздать простейший строительный блок многокубитных квантовых систем.

Парадокс извлечения информации

Обратимся к фундаментальной асимметрии квантовой механики. С одной стороны, изолированное квантовое состояние непрерывно. Чтобы задать вектор состояния одиночной частицы, математикам требуются непрерывные комплексные числа. В квантовую систему теоретически можно поместить бесконечный массив информации, варьируя фазы и амплитуды вероятностей.

С другой стороны, как только экспериментатор пытается эту информацию прочитать, квантовое состояние коллапсирует. Прибор выдает дискретный результат: щелчок одного из детекторов, плюс или минус, ноль или единица.

В 1973 году советский математик Александр Холево строго доказал фундаментальную теорему, носящую ныне его имя. Теорема Холево гласит: какое бы сложное состояние мы ни приготовили в квантовой системе заданной размерности, в результате одного измерения из нее в принципе невозможно извлечь больше классической информации, чем логарифм ее размерности по основанию два. Для двухуровневой системы — кубита — этот предел составляет ровно один бит. Для четырехуровневой системы — два бита.

Это математическое ограничение привело физиков к логической дилемме. Если реальный физический эксперимент над квантовой системой на выходе всегда возвращает микроскопический объем классических данных, зачем симулятору хранить и передавать бесконечные массивы чисел? Казалось естественным, что передачу квантовой частицы можно полностью заменить передачей небольшого, строго ограниченного пакета классических данных.

Правила проверки: протокол симуляции

Для строгой математической проверки этой гипотезы ученые используют стандартную модель передачи информации: сценарий «приготовление — измерение».

В реальном квантовом эксперименте участвуют две стороны, условно называемые Алисой и Бобом. Алиса готовит квантовую систему в определенном состоянии и направляет ее Бобу. Боб настраивает свой детектор на определенный тип измерения, фиксирует результат и записывает вероятность его появления. Эта вероятность определяется стандартным правилом Борна: она равна квадрату проекции приготовленного вектора состояния на вектор измерения.

В классической модели квантовая частица исключена. Алисе сообщают параметры состояния, которое она должна сымитировать, но вместо физической частицы она отправляет Бобу обычный текстовый сигнал — код из заранее согласованного алфавита строго фиксированного размера. Получив этот код и зная, какое именно измерение требуется провести, Боб генерирует ответ.

При этом классической модели предоставляется мощный теоретический бонус: неограниченная общая случайность. До начала эксперимента Алиса и Боб получают бесконечный объем синхронизированных случайных данных. Это могут быть бесконечные таблицы одинаковых случайных величин, сгенерированных любым мыслимым способом. Единственное строгое условие — эта случайность формируется до того, как Алиса узнает свое квантовое состояние, а Боб — свое измерение.

Задача классического алгоритма — подобрать такие правила кодирования и декодирования, чтобы вероятность получения каждого исхода у Боба абсолютно точно, без малейших статистических отклонений, воспроизводила квантовые вероятности для любых состояний и любых измерений.

Вопрос стоял конкретно: каков минимальный размер алфавита сообщений, необходимый для решения этой задачи? Если этот размер конечен, то квантовую систему можно сымитировать передачей конечного числа классических бит. Если же для воспроизведения квантовой статистики требуется бесконечный алфавит, классическая симуляция становится невозможной.

Прорыв для кутрита: 357 бит против бесконечности

Для систем размерности два — одиночных кубитов — задача была решена в 2003 году физиками Бенджамином Тонером и Дэниелом Бэконом. Они доказали, что квантовое поведение кубита при бинарных проективных измерениях можно идеально смоделировать, передавая всего два классических бита, то есть используя алфавит всего из четырех сообщений. Позже математики распространили этот результат на любые мыслимые измерения над кубитом.

Успех кубита объяснялся уникальной геометрией: пространство чистых состояний кубита полностью эквивалентно трехмерной сфере Блоха. Ее математическая симметрия позволила легко согласовать углы измерений с классическими вероятностями.

Но уже для систем размерности три — кутритов — аналогов сферы Блоха в геометрии не существует. Пространство чистых состояний кутрита представляет собой комплексное проективное пространство размерности два. Это четырехмерное искривленное геометрическое многообразие.

На протяжении более чем двух десятилетий ученые не могли определить, конечен ли объем классической связи для кутрита. Было доказано лишь то, что невозможно обойтись менее чем пятью сообщениями.

Де Гоис, Сантос и Виейра разрешили эту двадцатилетнюю проблему, впервые построив точный классический протокол симуляции произвольного кутрита.

Их алгоритм решает задачу через комбинированную процедуру:

• Основной цикл отбора: Алиса и Боб используют последовательность случайных геометрических направлений из общей памяти. Получив квантовое состояние, Алиса проверяет, насколько близко оно совпадает со случайными векторами. Как только степень совпадения превышает расчетный порог, Алиса отправляет Бобу порядковый номер найденного вектора. Боб проводит аналогичную проверку со своим направлением измерения и выдает результат.
• Принудительное ограничение: чтобы исключить риск бесконечно долгого перебора, авторы жестко ограничили число попыток первыми 112 кандидатами.
• Геометрическая сеть поправок: если среди 112 кандидатов подходящего не нашлось, Алиса переключается на резервный алгоритм. Она определяет положение своего вектора внутри заранее рассчитанной сети из 9216 сферических областей, покрывающих все пространство состояний кутрита, и передает Бобу номер этой зоны. Боб математически корректирует вероятность своего ответа.

Для простейших бинарных измерений кутрита весь протокол уложился в 14 классических бит (менее десяти тысяч дискретных сообщений). Для самых сложных измерений с произвольным числом исходов объем связи вырос до 357 бит.

357 бит — это чрезвычайно подробная инструкция для трехуровневой системы, однако с точки зрения теории сложности ключевым является то, что это число конечно. Кутрит принципиально поддается оцифровке.

Стена четвертого измерения

Казалось, что при переходе к четырехуровневым квантовым системам — куквартам — объем связи просто продолжит расти. Четыре квантовых уровня — это физически простейший составной объект: система всего из двух обычных кубитов.

Однако авторы доказали фундаментальную теорему: для размерности четыре и выше точная симуляция квантовой статистики с помощью конечного числа классических сообщений невозможна. Размерность требуемого классического алфавита строго равна бесконечности. Никакого конечного объема данных — ни гигабайт, ни терабайт классической информации — не хватит для симуляции двух кубитов.

Для доказательства теоремы ученые использовали тест на идеальное исключение состояний.

Пусть Алиса готовит чистое четырехмерное квантовое состояние, описываемое вектором. Боб настраивает прибор на регистрацию другого вектора. В квантовой теории вероятность срабатывания детектора строго равна квадрату модуля скалярного произведения этих векторов — величине, которую называют верностью состояний. Верность меняется в диапазоне от нуля до единицы.

Если векторы ортогональны, верность равна строго нулю. Это означает абсолютный квантовый запрет: детектор Боба никогда не зарегистрирует сигнал, вероятность срабатывания строго нулевая.

Если вектор измерения Боба отклоняется от строго ортогонального положения на малую величину, верность становится положительной. Квантовая вероятность срабатывания детектора растет строго линейно по отношению к этой величине. Иными словами, скорость роста вероятности — ее первая производная в нулевой точке — строго равна единице.

Если мы усредним квантовую вероятность по всем возможным парам состояний и измерений с заданной верностью, усредненная кривая сохранит этот единичный наклон при выходе из нуля.

Парадокс нулевой производной

Что происходит, если эту же зависимость пытается воспроизвести классическая программа, ограниченная конечным числом сообщений?

Полная вероятность ответа Боба в классической модели складывается из суммы вероятностей по всем возможным сообщениям Алисы. Поскольку классическая модель обязана быть безошибочной, при строгой ортогональности состояний классическая вероятность также обязана равняться нулю.

Но вероятность — величина неотрицательная. Если сумма конечного числа неотрицательных слагаемых равна нулю, то абсолютно каждое слагаемое обязано быть равно нулю. Для каждого отдельного сообщения из конечного набора вероятность подтверждения у Боба при ортогональных состояниях должна исчезать.

Далее исследователи анализируют, как ведет себя эта сумма при малом отклонении от нуля. Чтобы классическая модель соответствовала квантовой, производная классической функции вероятности в нуле обязана равняться единице.

Здесь вступает в силу математический аппарат дифференциальной геометрии. Пространство чистых состояний четырехмерной системы — это шестимерное комплексное проективное многообразие. Когда Боб усредняет свой отклик по всем направлениям измерений, строго ортогональным состоянию Алисы, он применяет интегральный оператор усреднения.

Авторы доказали, что действие этого оператора усреднения подчиняется строгим спектральным законам:

1. Любую функцию отклика Боба можно разложить на ортогональные угловые гармоники — точно так же, как звук раскладывается на чистые частоты.
2. Пространственная скорость изменения этих гармоник описывается оператором Лапласа — Бельтрами, который является обобщением обычного лапласиана на искривленные пространства. Собственные значения этого дифференциального оператора растут пропорционально квадрату частоты гармоники.
3. В то же время оператор усреднения подавляет каждую гармонику. Для четырехмерной квантовой системы степень подавления убывает обратно пропорционально квадрату частоты гармоники.

В размерности четыре происходит критическое математическое совпадение: скорость затухания коэффициентов усреднения в точности компенсирует квадратичный рост собственных значений лапласиана.

Это означает, что усреднение по ортогональным состояниям мгновенно сглаживает функцию Боба, какой бы разрывной или ступенчатой она ни была изначально. Функция приобретает непрерывные производные второго порядка в строгом функциональном смысле пространств Соболева.

Связь между дифференцированием вероятности по параметру верности и оператором Лапласа — Бельтрами оказывается прямой: производная классического отклика в нуле пропорциональна интегралу от действия лапласиана на сглаженную функцию Боба.

Но в дифференциальном анализе действует фундаментальное свойство локальности: если неотрицательная гладкая функция достигает нуля на некотором множестве, то все ее производные — включая оператор Лапласа — обязаны обращаться в ноль почти всюду на этом множестве.

Поскольку классическая вероятность строго зажата в нуле в исходной точке, ее лапласиан обнуляется. Из этого математически неизбежно следует, что первая производная классической функции отклика в нуле равна строго нулю.

Возникает фундаментальное противоречие:

• Квантовая вероятность требует, чтобы график выходил из нуля под углом с единичной скоростью.
• Любая классическая модель с конечным числом сообщений неизбежно выходит из нуля с горизонтальной касательной — ее скорость роста равна нулю.

Классическая функция просто не способна начать расти с той же скоростью, с которой растет квантовая вероятность, не нарушив запрет на ложные срабатывания в нулевой точке. Единственный способ ликвидировать это противоречие — сделать число сообщений бесконечным, чтобы обойти теорему о сглаживании.

Почему рубеж проходит именно по четырем уровням?

Математика четко объясняет, почему этот барьер не возник на уровне кутрита. Степень спектрального затухания оператора усреднения напрямую зависит от размерности квантовой системы. Скорость затухания гармоник обратно пропорциональна частоте в степени, равной размерности системы минус два:

• Для кутрита (размерность три): степень затухания равна единице (три минус два). Затухание частот происходит слишком медленно. Оно не способно компенсировать квадратичный рост лапласиана. Усреднение не обеспечивает достаточной гладкости функции Боба, поэтому производная в нуле не блокируется. Это оставило авторам возможность построить конечный классический протокол на 357 бит.
• Для кукварта (размерность четыре): степень затухания равна в точности двум (четыре минус два). Это критический порог, нейтрализующий вторую производную и принудительно обнуляющий наклон классической кривой.
• Для систем размерности выше четырех: затухание становится еще более сильным (третья, четвертая степени и выше). Функции сглаживаются еще сильнее, делая конечную симуляцию абсолютно невозможной для любых более сложных систем.

Четыре уровня — это минимальная размерность, в которой геометрия квантовых состояний обладает достаточным числом пространственных степеней свободы, чтобы сделать классическую симуляцию нереализуемой.

Запутанность и иллюзия простоты

Полученный результат ставит точку и в давнем споре о квантовой нелокальности Белла. В опытах по проверке теоремы Белла два удаленных детектора измеряют частицы запутанной пары без какого-либо обмена сигналами во время измерения.

В 2010 году математики Одед Регев и Бенджамин Тонер доказали, что квантовые корреляторы бинарных измерений для любых запутанных состояний произвольной размерности можно воспроизвести, передав всего два классических бита. Многие исследователи трактовали это как доказательство того, что квантовую нелокальность в целом можно смоделировать минимальным объемом связи.

Но авторы новой работы указали на принципиальную разницу между моделированием усредненного коррелятора и моделированием полного совместного распределения вероятностей.

Коррелятор — это лишь разность вероятностей совпадения и несовпадения знаков. Протокол Регева — Тонера воспроизводил эту разность с помощью двух бит, но платил за это искажением индивидуальных вероятностей: в их модели каждый детектор срабатывал с вероятностью строго пятьдесят на пятьдесят.

В реальном квантовом мире индивидуальные вероятности для произвольных измерений меняются непрерывно. Применив свой математический аппарат к паре максимально запутанных куквартов, де Гоис, Сантос и Виейра доказали: полное распределение совместных вероятностей невозможно сымитировать конечным числом сообщений. Как только от классической симуляции требуют воспроизведения реальных физических вероятностей каждого отдельного детектора, двух бит Регева — Тонера становится недостаточно. Требуется бесконечная классическая связь.

Конец классической Матрицы

Означает ли доказанная теорема окончательный крах гипотезы симуляции?

Ответ зависит от того, какую архитектуру приписывать гипотетическому симулятору. Результат де Гоиса, Сантоса и Виейры наносит удар по классической версии Матрицы — идее о том, что видимый мир порожден классическим компьютером, дискретной вычислительной машиной, цифровой сетью или клеточным автоматом, работающим на основе традиционной теории информации.

В классической парадигме непрерывность всегда считалась иллюзией, порожденной ограничениями наших приборов: предполагалось, что на масштабах планковской длины пространство дискретно, а любые физические поля можно представить в виде решетки битов.

Новая теорема доказывает, что на уровне квантовой статистики эта логика терпит фиаско. Непрерывная геометрия квантовой механики — это не просто удобная математическая идеализация. Это физическое свойство, которое принципиально невозможно разложить на конечные дискретные классические шаги. Чтобы заставить классический симулятор генерировать правильные вероятности даже для двух связанных кубитов в нашей лаборатории, вычислителю пришлось бы проложить между ними классический канал с бесконечной пропускной способностью, передающий бесконечный объем информации за нулевое время.

Если наша Вселенная и представляет собой моделируемую реальность, то машина, которая ее исполняет, не может функционировать на основе классических битов, булевой логики и дискретных процессоров. Ее базовые элементы обязаны быть истинно квантовыми. Качественный водораздел между классическим миром и квантовой реальностью начинается не в масштабах макроскопических тел и не на суперкомпьютерных кластерах из тысяч кубитов. Непреодолимая граница проходит точно через четыре квантовых уровня.

Источник: arXiv