Может ли закончиться бесконечность? Парадокс бесконечного Отеля Гилберта

Представьте себя в роли менеджера отеля с бесконечным числом номеров. Сколько бы постояльцев не заселилось, для них всегда найдётся место, ведь правда? Что может пойти не так?

Бесконечность и бесконечность

Ваш отель работает и полностью заселён, вы получаете бесконечный доход с бесконечного числа постояльцев, но вдруг прибывает ещё один. Что вы будете делать, куда его поселить? Вы сталкивались с такой ситуацией бесконечное число раз: если прибывает один новый гость, всех гостей можно переместить в номер на единицу больший, чем их текущий номер. Гость в номере 1 переезжает в номер 2, гость в номере 2 — в номер 3, гость в номере бесконечность переезжает в номер бесконечность + 1 и так далее. Номер 1 будет свободен для нового гостя. Ну, через бесконечно долгий промежуток времени, когда все наконец подвинутся.

Если одновременно заселится 100, 200, 1000 или любое другое конечное число новых постояльцев, вы знаете, что делать — просто подвинуть всех на 100, 200, 1000 мест вперёд. Никаких проблем.

Всё идёт хорошо, пока не прибывает автобус гостей. Не просто какой-то автобус, а автобус с бесконечным количеством новых постояльцев, такие далеко не редкость в бесконечной вселенной. Пассажиры автобуса насладились зрелищем заката жизни и теперь готовы навечно заселиться в ваш бесконечный отель. Вы сталкиваетесь с подобным чуть реже, всего лишь каждую чётную бесконечность раз, но решение проблемы простое — вы просто переместите уже проживающих гостей в номер, равный удвоенному числу их текущего номера. Гость в номере 1 переезжает в номер 2, гость в номере 2 — в номер 4, гость в номере 3 — в номер 6 гость в номере бесконечность переезжает в номер бесконечность x2 и так далее. Все нечётные номера освобождаются для новых гостей, вы великолепны.

Бесконечное число бесконечных автобусов

Но что если к вам приедет не один автобус, а сразу несколько? Два или три было бы слишком просто. Что если приедет бесконечное число бесконечных автобусов. Почему бы и нет, это же совершенно нормальное событие там, где вы ведёте бизнес. Что же вы будете делать? Придётся немного попотеть.

Ваши навыки работе в Excel бесконечно совершенны, поэтому вы открываете бесконечную таблицу, которая поможет разместить всех постояльцев. В первом ряду у вас записаны все постояльцы отеля. А в каждом ряду (кроме первого) вы записываете номер автобуса. В колонках вы указываете номера отеля.

И тут становится сложно. Каждая ячейка (пересечение столбца и строки) будет соответствовать каждому постояльцу или пассажиру. Например, каждая ячейка в первой строке будет обозначать постояльца отеля: Комната1, Комната2, Комната3 и до бесконечности. Каждая ячейка в строках автобусов будет соответствовать каждому пассажиру: Автобус1Пассжир1, Автобус2Пассжир2, Автобус3Пассжир3, и так далее.

Как же расселить всех? Вы печатаете бесконечную таблицу на бесконечном принтере и маркером рисуете линию, соединяющую все ячейки по диагонали: от Комнаты1 до Комнаты2 к Автобусу1Месту1, затем ведёте к Автобусу2Месту1, Автобусу1Месту2, Комнате3 и так далее. Как только вы поймёте принцип, это легко.

Что это даёт вам? Возможность потянуть за край бесконечной линии, конечно же. Но у бесконечной линии нет края, скажете вы и будете правы. Тем не менее линия проходит через каждую ячейку только один раз, а это значит, что вы можете просто взять и заселить каждого пассажира из бесконечного числа автобусов в комнату своего бесконечного отеля. Проще пареной репы!

Если вы ничего не понимаете, вспомните, что у нас не только бесконечное число бесконечных автобусов, но и бесконечное число уже проживающих постояльцев, их тоже нужно уместить, выселять нельзя. Эти самые постояльцы и представлены условными «Комната1», «Комната2» и т. д.

Бесконечный городской автобус

Усложним задачу. Понимаю, что не хочется, но ещё один пример и всё. Представьте ситуацию, когда приезжает автобус с бесконечным количеством пассажиров, но без сидений. Просто городской автобус с минимумом удобств, и бесконечными пассажирами. Каждый пассажир идентифицирует себя по уникальному имени, состоящему из сочетаний букв А и Б. Сколько может быть уникальных сочетаний с всего двумя буквами? В нормальных условиях всего два, но это странная вселенная, здесь своё особое понимание уникального имени. Дело в том, что в бесконечной вселенной имена бесконечно длинные и каждое состоит из сочетания двух букв. Автобус приехал, привёз пассажиров, а заселять отель вам. Что вы будете делать?

Скажете, что мест нет.

В смысле мест нет? Разве отель не бесконечный? Разве в автобусе не бесконечное число пассажиров? Разве вы не расселили бесконечное число автобусов с бесконечным числом пассажиров? Да, но есть нюанс.

Допустим, вы снова достанете таблицу и попробуете повторить трюк с бесконечной линией. Вы поселите пассажира АББААААА… в комнату 1, пассажира АББББББ… в комнату 2, АБАБАБАБА… в комнату 3 и так далее. Но при этом всё равно будет пассажир, которому не найдётся место.

Тут мозг начинает конкретно закипать, поэтому нужно ещё раз вспомнить, с чем мы имеем дело. Дано: отель с бесконечным числом комнат и автобус с бесконечным числом пассажиров, чьи имена состоят из бесконечных вариаций двух первых букв алфавита. Мы можем заселить АББААААА… в комнату 1, АББББББ… в комнату 2, АБАБАБАБА… в комнату 3, но при любом раскладе всё равно останется пассажир с особым именем. Напоминаю, комбинаций имён бесконечное множество, поэтому найдётся пассажир с именем, удовлетворяющим двум простым условиям:

1. Имя состоит из первой буквы имени 1 пассажира, второй буквы 2 пассажира, третей буквы 3 пассажира и так далее до бесконечности.
2. Каждая буква заменена противоположной. Т. е. если первая буква имени 1 пассажира — А, то мы заменяем её на Б и т. д.

Ещё раз, такой пассажир обязательно будет существовать и его имя будет уникальным, потому что комбинаций бесконечное множество.

Что случилось?

Число комнат в отеле бесконечно, но оно исчислимо бесконечно, то есть комнат ровно столько, сколько в бесконечности неотрицательных целых чисел.

Число пассажиров на автобусе без мест неисчислимо бесконечное. Если попытаться сопоставить каждую единицу в неисчислимой бесконечности с каждой единицей исчислимой, то при любом раскладе окажутся лишние единицы. Получается, что некоторые бесконечности больше других бесконечностей.

Для справки: описанная задача называется парадоксом Отеля Гильберта по имени автора парадокса, Давида Гильберта, впервые сформулировавшего его в 1924 году. Хотели бы остановиться в отеле Гилберта на бесконечный срок? Говорят, лифт в отеле имеет бесконечное количество кнопок и едет бесконечно долго, а душ и туалет…