Черные дыры помогут доказать, что измерений больше трех. Как проверить теорию струн без коллайдеров

Когда две черные дыры сталкиваются и сливаются воедино, новообразованный объект не переходит в состояние покоя мгновенно. Некоторое время его форма остается сильно деформированной. Черная дыра избавляется от этих возмущений, излучая в окружающее пространство гравитационные волны, амплитуда которых со временем стремительно падает. Этот финальный этап физики называют фазой релаксации, или рингдуаном.

Излучение на стадии релаксации подчиняется строгим математическим закономерностям. Оно состоит из набора фиксированных частот, которые физики называют квазинормальными модами. Каждая такая мода описывается комплексным числом и включает в себя два параметра:

• вещественная часть определяет частоту колебаний гравитационного поля;
• мнимая часть задает темп затухания амплитуды этих колебаний.

В рамках классической общей теории относительности Эйнштейна эти частоты определяются только массой, вращением и электрическим зарядом черной дыры. Если в эксперименте параметры затухания отклонятся от расчетных значений, это будет прямым свидетельством того, что геометрия пространства устроена сложнее, чем предполагает классическая физика.

Главным кандидатом на описание гравитации на квантовом уровне сегодня выступает теория струн. Она утверждает, что реальный мир содержит не 4 измерения, а существенно больше, а сами уравнения тяготения содержат поправки высших порядков, учитывающие сильное искривление пространства.

Математики Давиде Батич и Денис Дутых из Университета науки и технологий Халифа провели фундаментальное исследование того, как именно меняется спектр колебаний черных дыр в пространствах с числом измерений от 5 до 26. Их расчеты не просто уточнили известные параметры, но и закрыли давние споры о стабильности таких объектов, а также указали конкретный диапазон частот, в котором квантовые поправки к гравитации могут быть измерены напрямую.

Пространства высших размерностей и поправка Гаусса — Бонне

Классическая теория Эйнштейна связывает геометрию пространства-времени с распределением массы и энергии линейным образом. В 4-мерном мире — с 3 пространственными координатами и 1 временной — эта схема работает с высокой точностью. Однако в микромире, на масштабах квантовой длины струны, возникают экстремальные искривления геометрии, которые требуют учета нелинейных эффектов.

В теории струн базовая гравитационная модель дополняется квадратичными поправками по кривизне. Ведущей среди них выступает поправка Гаусса — Бонне. Она представляет собой специальную математическую комбинацию квадратов тензоров кривизны, которая обладает уникальным физическим свойством: уравнения движения, выведенные с ее учетом, сохраняют 2-й порядок дифференцирования. Это исключает появление нестабильных состояний с отрицательной энергией, которые неизбежно возникают в большинстве других обобщений гравитации.

Влияние поправки Гаусса — Бонне строго зависит от размерности пространства:

1. В привычном 4-мерном мире эта поправка является топологическим инвариантом. Ее вариация равна 0, а значит, она никак не меняет гравитационные уравнения движения и не оказывает динамического влияния на черные дыры.
2. В пространствах с 5 измерениями и выше топологическая пассивность исчезает. Член Гаусса — Бонне начинает напрямую менять геометрию вокруг черных дыр, модифицируя распределение сил тяготения вблизи горизонта событий.

Теория суперструн требует наличия 10 измерений, M-теория формулируется в 11 измерениях, F-теория рассматривает 12 измерений, а исходная бозонная теория струн — 26.

Интенсивность поправки Гаусса — Бонне регулируется параметром связи, который пропорционален квадрату длины фундаментальной струны. Чем компактнее черная дыра и чем сильнее кривизна пространства у ее горизонта, тем сильнее этот параметр деформирует классическую картину тяготения.

Пределы применимости стандартных приближений

Динамика малых возмущений черной дыры описывается волновыми уравнениями, которые математически эквивалентны одномерному уравнению Шрёдингера из квантовой механики. Геометрия черной дыры выступает в роли гравитационного потенциального барьера, через который пробиваются возмущения трех типов:

• скалярные возмущения, описывающие простейшие поля материи со спином 0;
• векторные возмущения со спином 1, соответствующие электромагнитным полям;
• тензорные возмущения со спином 2, представляющие собой чистые колебания пространства-времени.

На протяжении многих лет спектр этих возмущений рассчитывали с помощью приближения Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) 6-го порядка или прямым численным интегрированием во времени. Метод ВКБ работает надежно только в одном случае: если гравитационный барьер представляет собой гладкий одиночный холм с четким максимумом, а параметр поправки Гаусса — Бонне мал.

Но исследование Батича и Дутых показало, что поправки высшего порядка по кривизне кардинально меняют форму гравитационного барьера:

• При умеренной и сильной связи барьер распадается на 2 изолированных пика одинаковой высоты. Метод ВКБ теряет точность, так как не способен отследить сложное отражение волн между 2 вершинами.
• В непосредственной близости от горизонта событий потенциал резко проваливается вниз, образуя отрицательные ямы.
• Метод ВКБ принципиально не фиксирует моды, не совершающие осцилляций, и регулярно принимает высшие затухающие обертоны за основные, фундаментальные частоты.

Приближенные вычисления зашли в тупик. Чтобы исследовать многомерные черные дыры без упрощающих предположений, исследователям потребовался метод, способный работать с потенциалами произвольной геометрической сложности.

Спектральный метод с точностью в триста знаков

Авторы применили спектральный метод коллокаций на базе полиномов Чебышёва. Вместо приближенной локальной аппроксимации формы потенциального барьера этот подход решает задачу глобально во всем объеме пространства:

1. Физическую область от горизонта событий до бесконечности преобразовали в замкнутый отрезок от -1 до +1 с помощью замены переменных. Горизонт черной дыры совместили с левым краем отрезка, а бесконечно удаленную область пространства — с правым краем.
2. Из искомых функций аналитически исключили особенности, зафиксировав физические граничные условия: возмущения на горизонте могут падать только внутрь черной дыры, а на бесконечности — уходить строго наружу.
3. Оставшуюся регулярную часть решения разложили в ряд по базису полиномов Чебышёва первого рода.
4. Непрерывные производные заменили спектральными матрицами дифференцирования, зафиксировав значения функций в узлах специальной сетки корней Чебышёва.

В результате дифференциальные уравнения для каждого типа полей превратились в классическую матричную задачу линейной алгебры: квадратичную задачу на собственные значения. В ней неизвестным параметром выступает сама комплексная частота колебаний.

Для подавления вычислительных ошибок округления авторы использовали базис из 300 полиномов и вели расчеты в арифметике высокой точности — до 300 знаков после запятой. Истинной физической частотой признавалось только то значение, которое оставалось неподвижным при изменении числа полиномов с 260 до 300. Это гарантировало абсолютную математическую достоверность найденного спектра.

Архитектура спектра и сверхзатухающие колебания

Полученная спектральная карта продемонстрировала глубокую реорганизацию законов гравитационного затухания под влиянием поправки Гаусса — Бонне.

Если изобразить вычисленные частоты на комплексной плоскости, где горизонтальная ось задает частоту колебаний, а вертикальная — скорость их затухания, выявляются четкие геометрические закономерности. При слабой интенсивности поправки моды формируют расходящиеся V-образные ветви. По мере увеличения силы поправки ветви начинают стягиваться, образуя на средних частотах выраженные сужения спектра, а при максимальной связи группируются в строгие пирамидальные структуры.

Одновременно исследователи зафиксировали немонотонный характер изменения частот для высших обертонов: с ростом номера моды реальная частота колебаний может не падать, как в классической физике, а сначала резко возрастать, формируя локальные пики. Это доказывает качественную перестройку структуры пространства вблизи горизонта.

Главным открытием в морфологии спектра стало регулярное появление чисто мнимых, так называемых сверхзатухающих мод. Для этих состояний действительная часть частоты строго равна 0.

Физически это означает, что возмущение вообще не колеблется. Поле не испускает осциллирующих волн, а монотонно и чисто экспоненциально спадает во времени, выравнивая геометрию черной дыры.

В пространствах с 5, 6 и 7 измерениями эти чисто мнимые частоты выстраиваются вдоль вертикальной оси в регулярные вертикальные структуры с равным шагом между соседними модами. Проведенный авторами регрессионный анализ доказал, что величина этого спектрального интервала строго линейно зависит от квантового вращательного числа возмущения. Начиная с 8 измерений, эти бесконечные последовательности исчезают, уступая место одиночным изолированным незатухающим состояниям.

Доказательство скрытой симметрии: изоспектральность полей

Сравнивая между собой скалярные, векторные и тензорные возмущения, исследователи обнаружили точное математическое совпадение: в чистой теории Эйнштейна без учета поправки Гаусса — Бонне (при значении параметра связи 0) спектр простейших скалярных возмущений (сферически-симметричный монополь с моментом импульса 0) оказывается строго идентичен спектру электромагнитных векторных возмущений (диполь с моментом импульса 1) для всех измерений, начиная с 5.

Частота основного тона и все последующие затухающие обертоны совпадают до последнего знака.

Это совпадение не тривиально. Скалярное и электромагнитное поля описываются совершенно разными дифференциальными уравнениями. Их эффективные одномерные потенциалы имеют принципиально разный вид и не совпадают по величине ни в одной точке пространства.

Авторы строго доказали, что за этим тождеством стоит скрытая симметрия, аналогичная аппарату суперсимметричной квантовой механики, факторизация Дарбу.

Если переписать волновые уравнения через специальную пространственную координату, учитывающую замедление времени у горизонта черной дыры, дифференциальные операторы скалярного и векторного полей удается представить в виде произведения двух взаимно сопряженных операторов 1-го порядка. Эти операторы связаны между собой вспомогательной функцией — суперпотенциалом, зависящим только от метрики черной дыры и размерности пространства:

• скалярный оператор раскладывается как прямое произведение первого дифференциального оператора на сопряженный к нему;
• векторный оператор равен произведению тех же операторов, но взятых в обратном порядке.

В математике такие операторы называют парой Дарбу. Из правил математического анализа следует, что если применить сопряженный оператор к любому скалярному состоянию, оно гарантированно преобразуется в векторное состояние с абсолютно тем же самым значением комплексной частоты.

Это фундаментальное свойство многомерной гравитации Эйнштейна. Однако стоит включить поправку Гаусса — Бонне, как эта скрытая суперсимметрия мгновенно рушится. Поправка по-разному сцепляется со скалярными и векторными полями, в результате чего факторизация Дарбу становится невозможной, и спектры двух полей резко расходятся. При этом гравитационные колебания не проявляют подобной симметрии вовсе: у них нет пары ни при каких параметрах.

Шестимерная динамическая катастрофа

В то время как скалярные и векторные возмущения во всех размерностях ведут себя стабильно, расчет гравитационных возмущений подтвердил давнее теоретическое предположение: 6-мерные черные дыры с поправкой Гаусса — Бонне подвержены динамическому саморазрушению.

В 2005 году физики Густаво Дотти и Рейнальдо Глейзер аналитически предсказали возможность такой нестабильности, но не могли рассчитать ее конкретные динамические параметры. Спектральный метод Батича и Дутых позволил впервые наблюдать этот переход численно.

Причина кроется в поведении гравитационного потенциала вокруг горизонта событий в 6-мерном пространстве. При достаточно сильной поправке Гаусса — Бонне барьер кривизны опускается ниже 0, формируя глубокую отрицательную яму. Если глубина и протяженность этой ямы превышают критический предел, она захватывает волновое возмущение, формируя квантовомеханическое связанное состояние.

В этот момент мнимая часть комплексной частоты меняет знак: она перестает быть отрицательной и становится положительной.

Физические последствия смены знака критичны. Если отрицательная мнимая часть обеспечивает экспоненциальное затухание возмущения со временем, то положительная мнимая часть превращает временной фактор в экспоненциально нарастающую функцию. Амплитуда деформации черной дыры начинает удваиваться за фиксированные интервалы времени. Геометрия горизонта событий разрушается под действием собственных гравитационных колебаний.

Спектральный анализ показал, что для основного гравитационного канала нестабильность наступает строго при превышении безразмерного параметра связи значения 5,4. При значении параметра 5,2 мода еще стабильна и затухает. При 5,4 она пересекает границу устойчивости и переходит в верхнюю часть комплексной плоскости, а при дальнейшем росте поправки к ней присоединяются новые нарастающие моды. При значении параметра 20 авторы зафиксировали 2 одновременно нарастающие моды.

Авторы сопоставили этот переход с аналитическим критерием Коэна — Калоджеро. Это фундаментальное математическое неравенство определяет, сколько связанных состояний может содержать одномерная потенциальная яма определенного профиля. Интеграл Коэна — Калоджеро превысил 1 в точности при тех значениях параметров, где спектральный алгоритм обнаружил первую нестабильную моду.

Переведя безразмерные величины в физические размерные единицы, авторы сформулировали строгий критерий: 6-мерная черная дыра теряет устойчивость, если произведение ее массы на ньютоновскую гравитационную постоянную оказывается меньше величины, равной константе связи Гаусса — Бонне в степени 3/2, умноженной на коэффициент около 158,1.

Поскольку константа связи Гаусса — Бонне пропорциональна квадрату фундаментальной длины струны, полученное неравенство привязывает границу нестабильности к планковскому микромиру. Неустойчивость не угрожает астрофизическим черным дырам. Она касается исключительно микроскопических первичных черных дыр струнного масштаба.

При этом в размерностях, критических для теории суперструн (10 измерений) и М-теории (11 измерений), подобные отрицательные ямы не достигают критической глубины. Расчеты подтвердили, что в физически значимых струнных пространствах черные дыры остаются динамически стабильными.

Наблюдательные перспективы: окно в децигерцы

Многомерные расширения гравитации часто считают принципиально непроверяемыми в астрономических наблюдениях, полагая, что влияние дополнительных измерений заперто на недостижимо малых планковских масштабах. Расчеты Батича и Дутых опровергают это представление через эффект размерного усиления частот.

С ростом числа измерений безразмерные частоты квазинормальных мод черных дыр возрастают на 1-2 порядка по сравнению с 4-мерным пространством Эйнштейна. Когда эти безразмерные величины перевели в стандартные физические единицы — герцы — с учетом размерной редукции массы, обнаружилось совпадение с диапазонами планируемых астрономических инструментов.

Для 10-мерного пространства теории суперструн при умеренной поправке Гаусса — Бонне (со значением параметра связи 0,1) фундаментальные частоты гравитационного рингдуана распределяются следующим образом:

• Для черной дыры звездной массы (10 масс Солнца) частота основного тона гравитационного затухания составляет около 1,5 Гц.
• Для сверхмассивной черной дыры (1 миллиард масс Солнца) частота затухания составляет около 0,1 Гц.

Для 26-мерного пространства эти частоты равны 2,3 Гц и 1 Гц соответственно.

Эти частоты попадают в слепую зону для большинства современных и разрабатываемых гравитационно-волновых обсерваторий:

1. Наземные лазерные интерферометры текущего поколения (LIGO в США, Virgo в Европе, KAGRA в Японии) физически не способны регистрировать сигналы ниже 10-20 Гц. На этих частотах земные интерферометры упираются в непреодолимый барьер сейсмических шумов и локальных гравитационных флуктуаций атмосферы.
2. Будущий космический интерферометр LISA Европейского космического агентства ориентирован на ультранизкий миллигерцовый диапазон — от десятых долей миллигерца до 0,1 Гц. Рассчитанный рингдуан многомерных черных дыр лежит выше его рабочего интервала.

Однако частоты многомерных черных дыр идеально укладываются в так называемый децигерцовый диапазон — полосу от десятых долей до единиц герц (от 0,1 до 10 Гц).

Именно этот частотный диапазон является целевым для проектируемого японского космического гравитационно-волнового интерферометра DECIGO (Deci-hertz Interferometer Gravitational wave Observatory). Этот комплекс из 3 космических аппаратов, разнесенных на 1000 километров друг от друга в космосе, избавит измерения от сейсмических шумов Земли и закроет спектральный разрыв между LISA и наземными станциями.

Если теория струн верна и пространство обладает скрытыми измерениями, деформированными поправками высших порядков, рингдуан черных дыр неизбежно выдаст эту геометрию. В гравитационном сигнале проявятся смещенные частоты, характерный шаг между обертонами и снятие вырождения между скалярными и электромагнитными модами.

Гравитационно-волновая спектроскопия переводит изучение дополнительных измерений из области умозрительных гипотез в плоскость конкретных наблюдательных задач. Анализируя форму затухания гравитационных волн, астрономы будущего смогут напрямую измерить геометрию скрытых измерений нашей Вселенной.

Источник: arXiv