Если лететь только прямо, вернешься назад: почему плоская Вселенная не бесконечна и где ее предел

В астрономии утвердилось представление: если пространство не имеет кривизны, оно должно быть бесконечным. Орбитальные обсерватории WMAP и «Планк» измерили параметры реликтового излучения и установили, что на доступных телескопам масштабах пространственная кривизна Вселенной с очень высокой точностью равна нулю. На основе этих данных возник популярный вывод: космос абсолютно плоский, а значит, бесконечный.

Это заключение логически неверно. В нем смешаны два независимых понятия: геометрия и топология.

Геометрия изучает локальные свойства пространства в конкретной области — кривизну, соотношение углов и расстояния между близкими объектами. Топология описывает глобальное устройство мира в целом — его связность, форму, непрерывность и наличие внешних границ. Пространство может быть геометрически плоским в каждой точке, но при этом замкнутым, изолированным и конечным по своему физическому объему.

Международное научное объединение COMPACT, куда вошли ведущие астрофизики и математики мира, подготовило фундаментальное исследование этой проблемы. Ученые доказали: существующие данные наблюдений вовсе не опровергают конечность Вселенной. Более того, физики разработали новые методы анализа, которые способны обнаружить истинные размеры мироздания, даже если его границы находятся за пределами зоны прямой оптической видимости.

Геометрия против топологии: о чем молчат расчеты Эйнштейна

Основным инструментом для описания Вселенной служит общая теория относительности. Ее уравнения связывают распределение массы и энергии с тем, как искривляется пространство-время. Однако по своей математической сути эти уравнения являются дифференциальными. Они работают локально: определяют форму пространства в окрестности заданной точки, но не содержат информации о глобальном устройстве мира.

Локальная геометрия трехмерного пространства допускает три классических состояния:

• Пространство с постоянной положительной кривизной (трехмерная сфера). В нем сумма углов треугольника всегда превышает сто восемьдесят градусов, а параллельные лучи неизбежно сходятся.
• Пространство с отрицательной кривизной (гиперболическое пространство Лобачевского). В нем сумма углов треугольника меньше ста восьмидесяти градусов, а параллельные прямые расходятся.
• Плоское трехмерное пространство (евклидова геометрия). В нем параллельные прямые всегда сохраняют дистанцию, а сумма углов любого треугольника строго равна ста восьмидесяти градусам.

Тот факт, что измерения подтверждают нулевую кривизну, говорит только об одном: в наблюдаемой части космоса свет распространяется по законам школьной евклидовой геометрии. Это никак не исключает того, что само пространство замкнуто в гигантский замкнутый объем.

Ключевой признак замкнутого пространства — наличие так называемых нестягиваемых петель. Представим путь, который начинается в исходной точке, уходит вглубь космоса и возвращается обратно. В бесконечном мире любую такую траекторию можно плавно и непрерывно уменьшить вплоть до крошечной точки. Но если пространство замкнуто само на себя, в нем возникают фундаментальные маршруты, охватывающие весь объем Вселенной. Стянуть такую петлю в точку, не разорвав непрерывность пространства, математически невозможно.

Для плоского трехмерного пространства математики доказали существование ровно восемнадцати различных топологических структур. Десять из них являются ориентируемыми: если путешественник пройдет по замкнутой петле и вернется в исходную точку, взаимное расположение частей его тела не изменится. Восемь остальных топологий неориентируемы: обход замкнутого пути приведет к зеркальному отражению всех внутренних структур объекта — сердце окажется с правой стороны, а надписи придется читать в обратном порядке.

Простейший пример конечного плоского пространства — трехмерный тор. Это область в виде прямоугольного параллелепипеда, у которой противоположные грани математически отождествлены. Если материальный объект выходит за пределы правой границы, он в то же мгновение входит внутрь через левую границу, сохраняя направление движения и скорость. Внутри такого объема пространство остается абсолютно плоским, сумма углов треугольников строго равна ста восьмидесяти градусам, законы физики действуют привычным образом, но общий объем Вселенной строго фиксирован.

Существуют и более сложные плоские конфигурации. Например, пространство с поворотом на четверть оборота. В нем при выходе из одной грани координаты смещаются на противоположную сторону, но одновременно поворачиваются вокруг центральной оси на девяносто градусов. В пространстве со сдвинутыми слоями сдвиг координат сопровождается зеркальным отражением. Все эти варианты описывают конечные плоские миры, обладающие уникальными свойствами, которые можно зафиксировать астрономическими приборами.

Оптические дубликаты и пределы прямой видимости

Если пространство замкнуто и обладает ограниченным объемом, световые волны от одного и того же источника могут добраться до наблюдателя по нескольким несовпадающим маршрутам. Это создает оптические копии — множественные изображения одних и тех же астрономических объектов на небе.

В конце двадцатого века ученые пытались обнаружить форму Вселенной через поиск одинаковых далеких скоплений галактик и квазаров. Это направление называлось космической кристаллографией. Предполагалось, что каталог небесных объектов покажет повторяющиеся узоры. Однако этот метод зашел в тупик по трем причинам:

1. Скорость света конечна. Свет, обошедший Вселенную по длинному круговому пути, шел к Земле на миллиарды лет дольше прямого луча. Поэтому астрономы увидели бы один и тот же объект на принципиально разных этапах его жизни. С одной стороны неба это будет сформировавшаяся спиральная галактика, а с другой — плотное газовое облако на этапе формирования первых звезд.
2. Изменение ракурса. Разные траектории лучей показывают объект под совершенно разными углами, что не позволяет сопоставить форму галактик визуально.
3. Неполнота астрономических каталогов. Телескопы регистрируют лишь малую долю объектов на экстремальных удалениях, из-за чего статистическая вероятность найти совпадения оказалась ничтожно мала.

В результате внимание исследователей переключилось на самый древний, мощный и однородный источник излучения в космосе — реликтовый микроволновый фон.

Сфера последнего рассеяния и метод согласующихся окружностей

Реликтовое излучение возникло через триста восемьдесят тысяч лет после Большого взрыва. В ту эпоху первичная плазма охладилась настолько, что электроны объединились с протонами в нейтральные атомы водорода, и среда впервые стала прозрачной для электромагнитных волн. Фотоны той эпохи свободно движутся сквозь расширяющееся пространство до сих пор.

Для земного наблюдателя источник этого древнего излучения выглядит как сферическая поверхность, равноудаленная от нас во всех направлениях. Ее физический радиус с учетом последующего расширения Вселенной составляет сегодня около сорока пяти миллиардов световых лет. Эту границу называют сферой последнего рассеяния.

В конце девяностых годов исследователи предложили метод прямой геометрической проверки топологии с помощью сферы последнего рассеяния.

Если замкнутый объем пространства меньше диаметра этой сферы, то сфера неизбежно накладывается сама на себя. Это эквивалентно ситуации, при которой сфера вокруг Земли пересекается со сферой вокруг пространственной копии наблюдателя. Линией геометрического пересечения двух одинаковых сфер всегда является окружность.

Поскольку обе пересекающиеся сферы представляют собой один и тот же физический объем ранней Вселенной в один и тот же момент времени, распределение температурных неоднородностей вдоль окружности обязано полностью совпадать.

Следовательно, если Вселенная замкнута, на карте температур реликтового излучения должны существовать пары согласующихся окружностей равного углового диаметра, расположенные в разных участках неба. Температурный профиль вдоль одной окружности должен в точности повторять профиль второй.

Космические обсерватории WMAP и «Планк» выполнили сканирование всего неба и провели масштабный программный поиск таких парных окружностей. Компьютеры проверили миллионы комбинаций взаимного расположения, радиусов и ориентаций кругов.

Результат оказался отрицательным: идентичных температурных окружностей на небе обнаружить не удалось.

На основе этих расчетов ученые сформулировали строгое наблюдательное ограничение: кратчайшее расстояние вокруг Вселенной по замкнутому пути, проходящему через нашу планету, должно превышать девяносто восемь с половиной процентов от диаметра сферы последнего рассеяния. Позднейший анализ данных спутника «Планк» отодвинул эту границу еще дальше: кратчайший путь должен быть как минимум на три процента больше диаметра сферы последнего рассеяния.

В научной среде возникло ощущение, что вопрос о компактности пространства закрыт. Однако математический анализ коллаборации COMPACT показал: метод согласующихся окружностей содержит скрытую логическую уязвимость.

Асимметрия замкнутого мира: слепое пятно наблюдателя

Метод поиска согласующихся окружностей проверяет только те замкнутые пути, которые проходят строго через положение наблюдателя. Он опирается на предположение, что пространственные свойства одинаковы в любой точке Вселенной.

Но нетривиальная топология разрушает однородность пространства на глобальном уровне. Если геометрия фундаментальной ячейки включает не просто параллельные переносы, но повороты или зеркальные отражения координатных осей, длина замкнутых маршрутов становится неодинаковой в разных точках объема:

• Вблизи оси поворота фундаментальной ячейки замкнутый путь имеет минимальную длину.
• По мере удаления наблюдателя от оси вращения длина замкнутого маршрута непрерывно возрастает.

Расчеты группы COMPACT показали, что в ориентируемых плоских мирах кратчайший замкнутый путь через всю Вселенную может быть в шесть раз меньше, чем замкнутый путь, проходящий через нашу Солнечную систему. В неориентируемых пространствах эта разница теоретически может быть сколь угодно огромной.

Мы можем находиться в той части фундаментального объема, где замкнутые пути относительно длинны, поэтому сфера последнего рассеяния не пересекается сама с собой, и парные окружности на небе отсутствуют. Но в других областях этого же пространства пути остаются короткими, а полный физический объем Вселенной — строго ограниченным. Метод поиска окружностей оказывается нечувствителен к подобной асимметрии.

Нарушение изотропии: скрытые связи между волнами

Чтобы обнаружить топологию сложных асимметричных пространств, физики разработали статистический подход. Он основан на анализе спектральных характеристик реликтового излучения.

Температурные неоднородности микроволнового фона представляют собой застывший отпечаток первичных акустических волн, которые распространялись в плотной плазме ранней Вселенной до момента ее нейтрализации. Математически распределение температурных пятен на небесной сфере раскладывают по набору стандартных сферических функций — сферических гармоник. Этот метод аналогичен разложению сложного звукового колебания на чистые частотные тона.

Каждая гармоника имеет два ключевых параметра:

• Мультипольный номер, определяющий угловой размер пятна на небе. Малые номера соответствуют гигантским структурам размером в десятки градусов, большие номера описывают мелкие флуктуации размером в доли градуса.
• Индекс пространственной ориентации, указывающий направление вытянутости пятна на сфере.

В бесконечной Вселенной первичные возмущения плотности статистически изотропны. Ни одно направление в пространстве не выделено, поэтому флуктуации разных масштабов и направлений развиваются независимо друг от друга. При статистическом анализе перекрестная связь между гармониками с разными номерами и ориентациями строго равна нулю. Таблицы взаимных связей в таком мире имеют диагональную форму: значимые величины расположены только на центральной диагонали, а все остальные ячейки пусты.

В замкнутом пространстве ситуация резко меняется. Замкнутые границы накладывают жесткие физические условия на первичные акустические волны. Изотропия пространства нарушается. Волны начинают взаимодействовать с глобальной формой объема, интерферируя сами с собой через замкнутые границы.

В результате независимость гармоник исчезает. В таблицах корреляций возникают ненулевые перекрестные значения между модами совершенно разных масштабов и ориентаций. Таблица перестает быть диагональной и заполняется сложной сетью взаимных связей. Каждый из восемнадцати типов плоской топологии формирует свой математический узор этих перекрестных коэффициентов, по которому можно восстановить форму и размеры пространства.

Используя информационные критерии различимости статистических распределений, авторы исследования доказали принципиальный факт: статистический след замкнутого пространства сохраняется даже тогда, когда кратчайший путь вокруг Вселенной превосходит диаметр сферы последнего рассеяния на двадцать-тридцать процентов.

В этом случае сферы не пересекаются, парных окружностей на небе нет в принципе, но взаимная зависимость между гармониками продолжает существовать. Это позволяет зафиксировать топологические границы Вселенной, даже если они лежат глубоко за пределами горизонта прямой видимости.

Связь с космической инфляцией и квантовыми эффектами

Вопрос о замкнутости пространства неразрывно связан с теорией космической инфляции — гипотезой о том, что в первые доли секунды после своего появления Вселенная испытала фазу экспоненциально быстрого расширения, увеличив линейные масштабы в десятки порядков.

Если до начала инфляции пространство обладало замкнутой формой микроскопического масштаба, инфляционное расширение должно было растянуть эту структуру:

• Если бы инфляция продолжалась слишком долго, замкнутые петли растянулись бы до колоссальных величин, превышающих горизонт видимости в триллионы раз. В этом случае обнаружить форму пространства было бы невозможно.
• Если бы инфляция длилась недостаточно долго, пространство не успело бы вырасти до наблюдаемых сегодня масштабов и быстро сколлапсировало бы обратно под действием гравитации.

Если топологические границы Вселенной находятся в зоне чувствительности современных или готовящихся экспериментов, продолжительность эпохи инфляции должна укладываться в чрезвычайно узкий диапазон значений. Следовательно, прямое обнаружение топологии позволит вычислить точную длительность инфляционной фазы, решив фундаментальную проблему космологии.

Кроме того, в сверхмалом объеме ранней Вселенной топологическая замкнутость неизбежно влияла на поведение квантовых полей. Известно, что ограничение объема пространства меняет плотность энергии физического вакуума. Наличие замкнутых координат пространства-времени модифицирует баланс вакуумной энергии, что неизбежно изменяет динамику первичных возмущений и оставляет специфический след в спектре первичных гравитационных волн.

Новые методы проверки: поляризация и трехмерные карты

Поскольку возможности двумерных температурных карт реликтового излучения практически исчерпаны, ученые переходят к двум новым исследовательским направлениям.

Первое направление — поляризация реликтового микроволнового фона.

Поляризация электромагнитных волн разделяется на два типа:

• Градиентную составляющую, которая не имеет закрученности и описывает радиальные колебания электрического поля.
• Вихревую составляющую, обладающую спиральной структурой.

В стандартной бесконечной модели флуктуации плотности вещества способны порождать исключительно градиентную поляризацию. Вихревая составляющая может возникать только под действием реликтовых гравитационных волн. В силу изотропии пространства температура излучения и вихревая поляризация статистически никак не связаны между собой.

В замкнутом мире потеря изотропии разрушает это разделение. Между температурными флуктуациями, градиентными и вихревыми модами поляризации возникают устойчивые взаимные корреляции.

Максимальная сила этого сигнала сосредоточена на самых крупных угловых масштабах, соответствующих пятнам размером от десятков градусов до всего небосвода. На регистрацию этих данных нацелены два масштабных проекта: японский космический спутник LiteBIRD и высотный стратосферный аэростат «Таурус». Их высокочувствительные поляриметры позволят проверить наличие замкнутых евклидовых структур на масштабах, заметно превышающих диаметр видимой Вселенной.

Второе направление — переход к трехмерной картографии Вселенной.

Карта реликтового фона плоская: она фиксирует состояние плазмы в один момент времени на фиксированном расстоянии от Земли. В отличие от нее, широкомасштабные каталоги распределения материи охватывают реальный физический объем пространства на разных глубинах.

Для построения трехмерных карт астрофизики используют два метода:

• Прямые спектроскопические обзоры сотен миллионов галактик, определяющие их точные координаты и скорости движения.
• Томографическое картирование интенсивности радиолинии нейтрального водорода на длине волны двадцать один сантиметр. Этот метод позволяет визуализировать распределение первичного газа в эпохи до образования первых галактик.

Измерение трехмерных флуктуаций плотности материи увеличивает число доступных независимых гармоник на несколько порядков по сравнению с двумерной сферой реликтового излучения. Это кардинально снижает космическую дисперсию — фундаментальную статистическую погрешность, обусловленную тем, что наблюдатели ограничены изучением одной-единственной доступной Вселенной.

Архитектура реальности

Убеждение в бесконечности окружающего пространства долгое время оставалось неосознанной научной догмой, опирающейся на неполную интерпретацию уравнений гравитации. Но математическая строгость требует признать: отсутствие кривизны пространства никак не отменяет его возможной замкнутости.

Отрицательные результаты поисков одинаковых кругов на картах микроволнового излучения исключили лишь простейшие варианты симметричных миров, где размеры замкнутых петель одинаковы по всем направлениям и строго укладываются в пределы наблюдаемой области. Реальные пространственные конфигурации со сложными вращательными и зеркальными граничными условиями остаются полностью совместимыми с наблюдательными данными.

Развитие прецизионной поляриметрии и переход к трехмерным обзорам распределения галактик переводят фундаментальный вопрос о форме Вселенной из плоскости теоретических споров в плоскость проверяемых экспериментов. Поиск перекрестных связей в космических полях открывает реальную возможность определить: живем ли мы в безграничной пустоте, или же пространство замкнуто в гигантский, строго выверенный объем с конечной физической геометрией.

Источник: arXiv