Фигура, которая не должна была появиться: что такое Гёмбёц

С детства мы привыкли к правильным геометрическим формам в быту (куб, шар, пирамида), но в мире математики и геометрии существует множество удивительных фигур, и немногие из них могут похвастаться такой уникальной историей создания и свойствами, как гёмбёц. Эта геометрическая фигура сложной формы, напоминающая сплюснутый эллипсоид, обладает совершенно необычными свойствами равновесия. Гёмбёц стал настоящим символом того, как абстрактная математическая идея может привести к созданию чего-то удивительного и осязаемого. Давайте узнаем о ней больше.

Неваляшка — это, казалось бы, простая игрушка, но за ее безобидным внешним видом скрывается физическая загадка. Ее уникальность заключается в наличии двух принципиально различных положений равновесия: устойчивого и неустойчивого. Поставьте неваляшку на основание — она, словно волшебная, всегда возвращается в вертикальное положение, независимо от того, насколько сильно вы ее отклоните. Попробуйте же установить ее на вершину — и она, хоть и сохранит равновесие на краткий миг, при малейшем воздействии тотчас же вернется в устойчивое положение, «встанет на ноги». Этот удивительный эффект достигается за счет ее конструкции: шарообразной формы как верхней, так и нижней частей и, что самое важное, смещенного центра тяжести. В нижней части неваляшки находится тяжелый груз, который эффективно противодействует любому отклонению от вертикального положения, неустанно стремясь вернуть игрушку в исходную позицию.

А возможно ли создать неваляшку без этого балласта, а из однородного материала? Для решения этой задачи, казалось бы, простой, потребовались годы исследований и сложные математические выкладки.

Прорыв в понимании поведения однородных тел, способных демонстрировать свойства, подобные неваляшке, произошел в 1995 году на Международном конгрессе индустриальной и прикладной математики в Гамбурге. Там встретились два выдающихся математика — Владимир Арнольд из России и Габор Домокош из Венгрии. Домокош, в сотрудничестве с коллегами, занимался изучением положений равновесия тел (перебрали даже 2000 камней с пляжей). Оказалось, что даже у таких простых фигур, как квадрат или эллипс, количество положений равновесия может быть довольно значительным и зависит от формы и распределения массы. Например, у квадрата четыре устойчивых положения равновесия (когда он лежит на одной из сторон) и четыре неустойчивых (когда он стоит на вершине). Эти исследования показали, что достичь эффекта «неваляшки» с однородным телом значительно сложнее, чем может показаться на первый взгляд.

Это не может быть простое выпуклое тело, оно должно иметь определенную кривизну поверхности, обеспечивающую смещение центра тяжести при отклонении от вертикального положения. Этот смещенный центр тяжести, хотя и не связан с наличием груза, будет действовать аналогично, генерируя восстанавливающий момент, возвращающий тело в устойчивое вертикальное положение.

Учёные потратили годы, исследуя многочисленные варианты форм, прежде чем им удалось найти это уникальное геометрическое тело. И их математическая модель превратилась в трехмерное тело с равномерно распределенной массой, которое обладает только двумя точками равновесия (одна устойчивая). Высокотехнологичная неваляшка! Воплотить гёмбёц в осязаемую деталь получилось в 2006 году. Как оказалось это не так просто, малейшее изменение кривизны (допуск размеров при изготовлении 0.01 мм) поверхности и даже пыль на плоскости могут привести к потере этого уникального свойства равновесия.

Гёмбёц оказался не просто абстрактной математической конструкцией. Ученые обнаружили похожую идею в живой природе — панцирь некоторых видов черепах. Миллионы лет эволюции привели к созданию формы, частично математически эквивалентной Гёмбёцу, что позволяет черепахе всегда возвращаться в стабильное положение, даже если она случайно перевернётся вверх ногами. Это свидетельство удивительной эффективности естественного отбора и его способности решать сложные задачи оптимизации.

Короткое видео о фигуре от НаукаPRO:

Спасибо за внимание.

Источник: Официальный сайт проекта